Meta 发布 Muse Spark 与数学家协作完成的六篇数学研究论文

今年早些时候，我们的模型在数学、物理和化学五项高中奥林匹克竞赛中取得了金牌级别的成绩。这些结果激励我们去探索，AI 是否也能帮助科学家解决开放研究问题。

竞赛题目可能极其困难，但这些题目已经有答案。开放研究则不同。没有标准答案，也无法保证某种方法一定奏效。取得进展意味着不断尝试和重新尝试想法，犯下新的错误并解决它们，有时还要回到起点。

在过去几个月里，我们与数学家合作，探索了数学多个领域的问题。他们通过常规的 meta.ai 聊天界面，在 Thinking Mode 下使用了 Muse Spark 1.1 和 1.2，没有使用定制的研究脚手架。

开放研究需要时间。我们的目标不是批量生产论文，而是赋能研究人员，帮助他们形成他人能够理解并在此基础上继续发展的数学洞见。我们很自豪能与科学界合作，帮助他们推进研究。这些合作遵循以下原则：

• 一个数学家团队指导研究，并与 Muse Spark 合作探索想法、展开论证。
• 随后由另一组数学家审查他们的工作。
• 每篇论文都清楚标明哪些段落主要由研究人员起草，哪些由 AI 起草。
• 每篇论文都对其所依据的早期研究和数学思想给予致谢。

今天，我们分享来自该合作的六篇此类论文。其中五篇对先前开放的研究问题给出了答案。

在完成我们的工作后，我们了解到 Meta 之外的其他团队已独立宣布用不同方法解决了其中一些问题。我们认可并感谢他们的贡献，并在论文中明确说明他们的工作及其与我们工作的关系。

概率：高斯椭球拟合的严格阈值

Aykut Arslan 与 Muse Spark 通过 meta.ai 合作。审阅：Babak Modami、Alexander Roitershtein、Mark Sepanski 和 Grigory Sokolov

论文：高斯椭球拟合的严格阈值。

这篇论文回答了一个长期悬而未决的问题：在高维空间中将随机高斯点拟合到一个椭球上。为了在低维中直观理解这个问题，可以想象平面上散布着一些点，并尝试画一个以固定点为中心、且经过所有这些点的椭圆。我们的主要结果确定了能够以这种方式拟合的点数的精确阈值。低于该阈值时，这样的椭球以高概率存在；高于该阈值时，这样的椭球几乎肯定不存在。这为研究人员提供了精确数据拟合极限的理论基准，而恰好处于阈值处的行为仍未解决。证明策略在 Aykut Arslan 的指导下，借助 Muse Spark 得以制定和修订，同时我们团队中的另外四位数学家对论证进行了检查和改进。我们还感谢 2026 年 8 月发表的三项独立同期工作。Misiakiewicz 和 Wen 独立证明了高斯阈值。De la Cerda、Potechin、Tulsiani 和 Xu 在高斯阈值的基础上建立了一个相差一个消失的乘性因子的结果。Koehler 和 Sohn 获得了一个更广泛的普适性结果，将高斯阈值作为特例包含在内。这些工作与我们的工作是独立开展的，并采用了不同的方法。

微分方程：质量临界双调和非线性薛定谔方程径向负能量解的有限时间爆破

Leonard Dinh 与 Muse Spark 通过 meta.ai 合作完成。由 Fazel Hadadifard 和 Salem Selim 审阅

论文：质量临界双调和非线性薛定谔方程径向负能量解的有限时间爆破。

这篇论文回答了一个受激光物理启发的模型中关于波坍缩的长期未决问题。为了直观理解这个问题，可以想象一种效应将波向内挤压，而另一种效应将其向外扩散，二者之间展开一场拔河。波能否永远保持聚集，还是最终必然坍缩？对于围绕中心对称且具有负能量的波，在二维或更高维中，论文证明了坍缩必须在有限时间内发生。这解决了 2015 年遗留的一个问题，并证实了 2002 年计算机模拟对这一情形的预测，使研究人员更清楚地理解波坍缩何时不可避免。Muse Spark 帮助完成了计算、检验了可能的论证并修订了证明，而 Dinh 选择了问题并提出了关键证明思路，另外两位数学家审阅并帮助完善了这项工作。

群论：半阿贝尔群不必是单项的

Joseph Phillip Brennan 和 Milana Golich 与 Muse Spark 通过 meta.ai 合作完成。由 Andres Barei 和 John Portin 审阅

论文：半阿贝尔群不必是单项的。

这篇论文推翻了一个关于群的猜想，群是用于描述对称性的数学结构。该猜想由 M. Kida 于 2024 年首次提出，它断言每个具有所谓"半阿贝尔"性质的有限群也必然具有另一种称为"单项"的性质。正如发现一只黑天鹅就能推翻"所有天鹅都是白色"的说法一样，一个反例就足以解决这个问题。研究团队在一个含有 384 个元素的群中找到了这个反例，表明这两种性质并不总是同时成立。这有助于数学家更好地理解这些群是如何分类的。Muse Spark 在数学软件系统 GAP 中生成了搜索程序，从而找到了这个反例。Golich 及其合作者验证了结果并完成了论证，另有两位数学家审阅了这项工作。我们也感谢 AI 智能体 Nilradical，它于 2026 年 9 月 16 日报告了针对同一猜想的另一个反例。我们的结果是独立得出的。

优化：完备长度三 Alpha 环的基于环松弛的紧致性

Aykut Arslan 与 Muse Spark 通过 meta.ai 合作。由 Kien Trung Le 审阅

论文：完备长度三 Alpha 环的基于环松弛的紧致性。

这篇论文回答了 Del Pia 和 Khajavirad 于 2026 年首次提出的一个问题：二元多项式优化问题的某种松弛何时能精确刻画原问题。为了直观理解其结构，可以想象维恩图中三个相互重叠的圆，每个圆都包含一组是或否的决策。对于所研究的这一族问题，当每两个圆共享（但不与第三个圆共享）的每个区域恰好包含一个决策时，该近似就是精确的。如果其中任何一个区域包含多于一个决策，近似就会留下间隙。这为研究者提供了一条明确的规则，说明这种特定的简化何时不损失任何信息，何时需要加强。Muse Spark 帮助用概率重新表述了该问题，识别出一个反例，并制定了证明策略。Arslan 和 Trung Le 检查了论证，修正了漏洞，并完善了最终证明。

算术物理：弦两点函数 = 曲线上的高度函数

Anindya Dey、Gabriel Herczeg、An Huang、Nicolas Jaramillo Torres 和 Jacob H. Swenberg 与 Muse Spark 通过 meta.ai 合作。

论文：弦两点函数 = 曲线上的高度函数。

Muse Spark 帮助研究人员将两个领域（数论和 p 进弦理论）的思想联系起来，沿着 Yuri Manin 在 20 世纪 80 年代设想的方​​向。从 Tate 曲线已知的联系出发，该模型帮助团队看到了如何将其扩展到更广泛的曲线类别。论文表明，用不同数学语言进行的两种计算描述的是同一个量。在更简单的情况下，该计算归结为计算两个点的坐标在以 p 为基数的数制中共享多少个起始数字。这为研究人员提供了一种具体的方法，可以在两个领域之间转换思想和计算。除了帮助识别这种联系外，Muse Spark 还生成了候选证明并起草了三个核心技术部分，随后研究人员对其进行了检查、修正和完善。

非结合代数：论可解演化代数与 García-Martínez 和 Pérez-Rodríguez 的一个猜想

Andres Barei 与 Muse Spark 通过 meta.ai。由 Nicolás Jaramillo Torres 审阅

论文：论可解演化代数与 García-Martínez 和 Pérez-Rodríguez 的一个猜想。

该论文推翻了一个关于分类演化代数的猜想，演化代数是一种受进化生物学启发的数学结构。García-Martínez 和 Pérez-Rodríguez 提出了一个用于识别称为“可解”代数类别的测试。团队发现了一个小的三维例子，它通过了他们的测试但不属于该类别。论文不止于找到一个反例。它建立了一个考虑整个子空间而非单个元素的替代规则，为数学家提供了一种更准确的方式来理解这些结构。根据研究人员的提示，Muse Spark 生成了反例并提出了替代的特征描述和证明。Barei 检查、完善并重写了材料。我们也感谢 Hu 和 Wen 的独立工作，他们报告了同一猜想的反例。

在此基础上继续推进

这项工作延续了我们对科学研究的投入。我们相信，进展需要专家与 AI 之间的紧密合作，其成果随后经过仔细验证、生产过程透明，并清晰地传达给更广泛的研究社区。

致谢

我们要感谢将问题和专业知识带到这次合作中的研究人员，以及所有检查证明并帮助使论文更清晰的人。我们也感谢更广泛的数学社区，这些成果建立在其工作之上。