我们正在分享一个针对纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题的解决方案，这是千禧年大奖难题之一。这一证明由 OpenAI 内部系统完成，表明描述流体运动的纳维-斯托克斯方程动力学可以在有限时间内发展出奇点。我们同时分享该证明的论文以及 Lean 形式化验证版本。

千禧年大奖难题代表了数学前沿一些最深奥的问题。光滑三维流体运动是否会破裂这一问题，已悬而未决约 90 年。

我们工作的一个主要目标是赋能科学家，推动有利于全人类的研究与技术发展。为解决纳维-斯托克斯问题，我们使用了一个内部模型，其能力显著强于 GPT‑6 Astra。我们认为，让世界了解 AI 进步的节奏以及即将推出的模型值得期待之处，这一点非常重要。

问题本身

纳维-斯托克斯方程利用牛顿第二运动定律（“F=ma”）来描述流体如何运动。重要的是，它们将流体视为连续介质，而非追踪单个分子。这些方程被用于飞行器设计、天气预报以及血流研究。

对于这些动力学方程，一个基本的开放问题是：流体的连续介质近似是否可能失效。具体而言，对于具有恒定密度的三维不可压缩流体，即使运动从光滑状态开始，Navier–Stokes 方程是否也会发展出“奇点”？这里，奇点意味着动力学导致流体中的速度在有限时间内无界增长。奇点的发展必须在存在粘性的情况下发生，而粘性往往会使运动趋于平滑。由于真实流体不可能以无限速度运动，这将标志着方程对流体建模的失效。要继续对该系统建模，就需要逐一追踪每个粒子的行为。

这些方程可追溯至十九世纪 Claude-Louis Navier 和 George Gabriel Stokes 的工作。1934 年，Jean Leray 证明了广义意义下解的存在性，但它们是否始终保持光滑成为核心未解问题。2000 年，克莱数学研究所将 Navier–Stokes 存在性与光滑性问题列为七个千禧年大奖难题之一。

研究结果

我们的系统产出了一份分析性证明和一份 Lean 形式化证明，表明一个初始静止的光滑流体可以在有限时间内发展出奇点。该流体受到一个光滑的外力作用，其能量在从静止到奇点形成的整个动力学过程中始终保持有限。这通过确立官方千禧年大奖难题表述中的陈述“C”（以及“D”），解决了 Navier–Stokes 千禧年大奖难题。

其解是一种涡旋——流体形成的旋转涡流，向内盘旋并不断被拉长，形似意大利面。这一中心区域在收缩的同时不断加速，但其能量仍保持有限，符合物理定律的要求。技术难点在于，方程需要通过流体自身的运动来发展出这种破裂，而非例如我们人为施加一个无限大的力。从更数学的角度看，纳维-斯托克斯方程中描述运动的各项——加速度、压力梯度、动量传递、黏性——必须同时变大，却又以精确的方式相互抵消。这种精细的平衡使得即便流体速度无界增长，外部作用力仍然保持平滑。

局部不可压缩运动的快照。橙色表示较快的角旋转；青色表示较慢的旋转。环流速度还取决于半径。轨迹显示出向内螺旋和轴向拉伸。

我们是如何找到证明的

自 8 月 28 日起，我们一直在训练一个新的内部模型，该模型在我们的各项基准测试中展现出前所未有的表现，包括数学领域。该模型的训练仍在进行中，其性能也在持续提升。

9 月 1 日（星期二），我们听到传言称有两个千禧年大奖难题已被解决。受这些传言以及我们内部模型性能阶跃式提升的启发，我们启动了一项工作，在所有未解决的千禧年大奖难题以及其他几个具有重大影响力的问题上对该模型进行评估。

我们使用了一套由内部模型驱动的协调智能体系统。这些智能体可以使用多种工具，例如读取互联网缓存版本以及运行代码。智能体被划分为多个小组，小组内部可以相互通信。各小组的规模有所不同，其中解决纳维-斯托克斯问题的小组涉及约 10,000 个并发智能体。在整个过程中，我们始终维持着与所有前沿模型评估相同的严格安全措施，包括监控和隔离。

针对每个问题，我们向不同的智能体小组提供了问题陈述的不同变体，覆盖了该问题的所有变体形式。对于纳维-斯托克斯问题，我们向不同的小组分别提出了版本“A”和“B”（纳维-斯托克斯问题的特定形式，可导向证明）以及版本“C”和“D”（可导向反证）。

除了完整的千禧年大奖难题之外，我们还要求我们的多智能体系统尝试一组“较简单”的问题。其中一个问题是关于去除粘性项后纳维-斯托克斯问题极限的类似爆破问题。这被称为欧拉方程的正则性问题，而我们的智能体解决了这个问题，这让我们感到惊讶。它们解决的具体问题变体是无外力版本，即流体不受任何外力作用。近 100 个智能体协同工作约 50 小时，得出了我们的欧拉方程正则性反证。1

当我们看到欧拉方程的解法后，我们认为纳维-斯托克斯方程是最值得攻克的问题。因此，我们决定将资源投入到纳维-斯托克斯方程上。为此，我们将智能体从其他千禧年难题上转移过来，并用欧拉方程的解法作为提示词引导这些智能体。在此过程中，当我们内部模型的进一步训练版本可用时，我们将智能体更新到了该模型。

我们鼓励不同的智能体小组探索多样化的方法。一段时间后，我们通过使用 Codex 整合每个智能体小组最有价值的见解，对各小组进行了交叉融合。这些后续提示词基于智能体自身的中间结果。找到纳维-斯托克斯方程解法的小组正是以这种方式得到引导的。

智能体于 9 月 5 日（周六）得出了解法，距首批智能体启动约 88 小时。随后，通过 GPT‑6 Astra 进行 Lean 形式化与验证又花费了 17 小时。

在所有尝试的问题中，智能体共发送了 490 万条消息，使用了约 3000 亿个输出 token。在解决纳维-斯托克斯问题的过程中，智能体发送了 270 万条消息，使用了约 1300 亿个输出 token。

并行工作

我们的工作始于9月1日，当时我们听到一则传闻，后来意识到它与Anthropic员工Levent Alpöge以及纽约大学数学教授Tristan Buckmaster有关。在我们完成整个项目并通过Lean验证（9月6日）之后，由于我们根据传闻相信他们也得到了Navier–Stokes方程的一个解，便主动联系他们，提议联合发布我们的结果，并在共同声明中承认他们的优先权。在沟通中我们才得知，他们解决的是受迫Euler方程问题。在这些讨论中，我们向他们展示了我们使用的全部提示词，后来又让他们查看了证明过程。我们承认他们在受迫Euler问题上的优先权，并祝贺他们取得这一卓越的数学成就。

在他们公开发布之前，我们（研究人员和智能体）没有通过任何途径看到他们的任何工作——尤其是，我们没有访问任何特定用户数据来解决这个问题。虽然可能性不大，但我们无法排除从他们使用我们产品所产生的去标识化数据中提炼出的信息帮助改进了我们的模型。不过，我们的证明差异显著，而且在Euler情形下，所证明的精确结果也有所不同（受迫与不受迫）。

进展与责任

我们发布这一成果，旨在汇报我们 AI 模型取得的重大进展。我们无意借此申领千禧年大奖。

这一里程碑凝聚了数学家与 AI 研究者的大量工作。然而，这并非终点，而只是 AI 发展进程中的一个阶段性快照。

我们相信，当前正处于 AI 发展的下一个阶段，今天的结果为此提供了进一步佐证。我们正着力于理解这一模型，并利用所学来引导和把握追求能力进一步突破的节奏。我们的核心目标之一是构建可控、可问责、与人紧密相连的 AI 系统，这或许要求我们在推进速度上做出更为审慎的选择，同时继续践行确保 AGI 惠及全人类的使命。

• 2026
• 生成式模型

脚注

1. 1阅读欧拉证明论文⁠ · Lean 形式化证明链接⁠