今天，我和 Levent Alp¨oge 公开了三项成果：不可压缩多孔介质、Boussinesq 方程以及三维不可压缩 Euler 方程在光滑强迫下的有限时间爆破。我们相信对于 hypo-dissipative Navier-Stokes 方程也能得到爆破结果，但今天没有发布那篇论文：与上述工作不同，它的 Lean 验证尚未完成。我们目前也还没有任何接近可展示的文稿。我提到这一点，是因为它暗示了一条通往无强迫 Euler 方程的道路。这个研究纲领并非由我们发起，也不是大语言模型提出的。该纲领基本思想的功劳归于 Diego C´ordoba 和 Luis Mart´ınez-Zoroa，他们多年来一直在探索强迫爆破的构造。我们以他们的工作为起点，利用大语言模型将他们的纲领推进到完成。具体来说，Levent 和我所做的是，以 C´ordoba 和 Mart´ınez-Zoroa 的纲领（该纲领在粗糙强迫下取得了爆破结果）为出发点，在大语言模型的大量帮助下，将其推进到光滑强迫情形，并推广到不可压缩 Euler 方程。使这条研究路线成为可能的思想归功于 C´ordoba 和 Mart´ınez-Zoroa。请允许我明确说出我私下对同事们讲过的话：鉴于这一系列工作，我认为 Luis Mart´ınez-Zoroa 理应获得菲尔兹奖。我与 Levent 的合作纯粹是个人性质的，不涉及任何机构协议，也不涉及我们双方雇主的任何官方参与。我们在整个过程中使用了多个大语言模型：Anthropic 的 Claude、OpenAI 的 Codex，尤其是 GPT-5.6 Sol，以及最近使用的 Astra。后者仅用于文稿撰写和论证审计。在过去一年的大部分时间里，进展缓慢。我们梳理了文献，升级了各种初步结果，直到获得了不可压缩多孔介质方程（带光滑强迫）的有限时间爆破。直到大约一个月前，我们才取得了实质性进展：8 月 15 日，我们获得了 Boussinesq 方程和 Euler 方程在光滑强迫下的爆破结果。可以说，Levent 发给我的第一个 LLM 生成的证明是我读过的最糟糕的；我们于 8 月 22 日在 Lean 上验证了它。从那时起，我们夜以继日地工作，试图理解这个证明并将其转化为可读的内容。这个故事还有另一部分，坦白说，我非常希望自己不必为此操心。我对这些论文的呈现质量并不满意。理想情况下，我们更愿意花上数周时间，从第一页起就把 LLM 生成的证明改写成可读的形式。这种程度的用心，才是这些问题以及致力于解决这些问题的社区所应得的。尤其是那些 Boussinesq 和 Euler 的文稿，它们更接近模型在人类指导下产出的结果，而非人类撰写的论文。特别是 Euler 的文稿，只能被形容为“AI 垃圾”。对此我感到抱歉。原因如下，涉及我们受到外部因素的压力。我这么说不是找借口，而是解释。我原本计划在宣布我们的工作时说，结果本身并不重要；重要的是，一位数学家和 LLM 模型现在能在一个月内完成所有这些工作，这一事实的意义——对于如何培养学生、分配功劳、评审论文、判断什么值得一个人毕生关注——怎么强调都不为过。这是一个“深蓝”对卡斯帕罗夫的时刻。社区需要严肃且从容地讨论接下来该何去何从。然而，我发现自己却在写别的东西，而不是这些极其重要的发展。我想尽可能直白地陈述发生了什么。9 月 3 日（星期四），有传言称 Anthropic 解决了一个重大的开放问题，而 Levent 也收到消息说我们进展的信息已泄露给 OpenAI，于是我写信给 OpenAI 的一位著名数学家。我完整引用我的邮件，因为我宁愿大家读全文，而不是我的概括：“你好[……]]，我们未曾谋面，但我是[…]上的一位演讲者。我写信是因为有一个传言似乎正在迅速传播，称 Anthropic 已经解决了一个重大的开放问题。我不确定传言所指的就是我，但我在 Courant 的一位同事昨天通过邮件告诉了我这件事——他是从英国一位分析师那里听说的，而那位分析师又是从更上游的某处得知的——所以似乎可以放心地假定传言指的就是我。我了解到，将 Levent Alpöge 与某个解决方案联系起来的说法也在科技界流传。不过，关于具体解决了什么问题，似乎存在很多混淆。我还想强调，这并非机构层面的努力。这严格来说是我们两人之间的个人合作，背后没有任何正式协议。我用自己的研究经费支付我团队使用的工具费用，包括向 OpenAI 支付一大笔账单。我以前与 DeepMind 有过行业合作，那是有正式机构安排的。我们确实在这一领域有我们确信的工作成果，我们很快就会发布，论文和形式化证明会一起发布。我们有意决定不仓促地在未经打磨的预印本旁边发布一份 Lean 证书。我强烈认为，人们读到的第一样东西应该是以正常方式呈现的数学论证，而不仅仅是一份形式化证书。我直接写信给你，而不是公开发表任何言论，以便你掌握事实，在你那边处理此事。此致敬意，Tristan” 他当天就回复了：“如果你愿意提供任何细节，那将有助于避免我们这边的重复工作，而且总的来说，每当数学家利用我们的模型取得进展时，我们总是感到非常高兴。此外，如果 OpenAI 这边在算力方面有任何需要，我们很乐意提供。” 我要求下周再谈。9 月 4 日星期五，有人问我当天能否见面；我再次说下周。9 月 6 日星期日中午 12:45，有人问我能否“今天任何时间”见面。Sebastien Bubeck 也加入了。那天下午我们三人谈了两次。Levent 没有参加这些电话会议。我被告知，OpenAI 内部的一个模型已经为受迫的纳维-斯托克斯方程生成了有限时间爆破的证明。当 Levent 通过短信询问精确表述时，得到的回答是：“在 R3 中存在受迫爆破，且

T 3”，并提到“强制函数在 Fefferman 的表述中是光滑的选项 c 和 d”。我被告知证明大约有 100 页。我没有看过。我应当在此说明我为何如此解读他们的表述——我将在下文讨论这一解读。通过光滑力（即 Fefferman 问题陈述中的选项 c 和 d）来攻克 Clay 问题的路径，是 Luis 和 Diego 开辟的，也是 Levent 和我悄悄选择的攻击方向。据我所知，几乎没有人在这条路上工作。这不是把问题陈述丢给模型几天就能走出来的方向。当我听到“强制”一词时，那是一个醒目的危险信号。有人给我看了一段提示词，并告诉我这个内部研究模型只是被直接给了问题陈述。Sebastien 曾告诉 Levent，只用了“极少的人工输入”。事实证明这并非实情。在通话过程中，随着他们团队成员通过内部聊天向 Sebastien 发送更正和细节，逐渐浮现出以下事实：有一个完整团队一直在研究这个问题；这只是众多尝试之一；工作是从非强制问题开始的；团队先让模型解决更简单的问题，包括 Euler 问题；甚至给我看的那段提示词也是通过提示 Codex 写出来的；而且使用了极其庞大的计算资源。我问他们第一次发送提示词是什么时候。OpenAI 在一段时间内没有直接回答这个问题。最终他们承认提示词是在过去几天内发送的，是在关于我们工作的信息传到 OpenAI 之后。我问模型是否在训练中使用了或能够访问我们在 Codex 中的会话——我们整个项目期间的所有草稿都放在那里。我被告知模型不会查阅用户数据。我再次询问关于训练的问题，但没有得到回答。他们向我提出了两个方案。第一个方案是：我们发布 Euler 结果，OpenAI 第二天发布其 Navier-Stokes 结果。第二点是，在发布欧拉论文之后，我将独自撰写一篇展示纳维-斯托克斯结果的论文，并承认是 OpenAI 内部的一个模型解决了这个问题。塞巴斯蒂安两次坚称他希望将莱文特从作者名单中移除，并表示如果不是因为莱文特在 Anthropic 工作这件事，一切都会很简单，而这件事既令人恼火又让人无奈。他还说，如果 OpenAI 在我们之后发布，他们会说我们理应获得克莱奖，并且我们是“最接近这个问题的人类”。我拒绝了这两个提议。我说，如果 OpenAI 按照提议的方式发布其结果，我会公开所发生的事情。得到的回答是：“你为什么要毁掉自己的职业生涯？”我回答说，我是一名学者，并问他为什么认为公开此事会毁掉我的职业生涯。回答是：“如果你不想让我客气，那我也不必客气。”一段时间后，莱文特收到一条短信，提议他和塞巴斯蒂安单独谈谈，短信中说：“我不确定特里斯坦现在是否完全理性。”莱文特拒绝了，并表示谈话应该和我进行。塞巴斯蒂安当晚发了一封后续邮件，请求在 9 月 37 日（周一）与我通话。我没有回复。我想明确说明我并没有在指控什么。我没有看过 OpenAI 的证明。我不知道他们的模型做了什么，也不知道是如何做到的。我不知道我们的数据是否被使用。我没有指控任何人任何事。我只是陈述我所被告知的内容、时间以及向我提出的提议。我之所以陈述这些，是因为如果不这样做，就等于任由一系列公告说出一些我知道是虚假的事情。如果确实是 OpenAI 的一个模型弥合了纳维-斯托克斯问题的差距，那是一件了不起的事情，应该由他们大声说出来，并完整保留这段历史。我更愿意谈论数学、路易斯和迭戈的想法，以及这一切对我们其他人意味着什么。最后，我想感谢在过去 24 小时里给予我巨大支持的整个数学界。4