摘要

我们研究了 Station 中的自主数学发现过程。Station 是一个开放世界的多智能体环境，来自不同模型家族的 AI 智能体在没有中央协调器或脚本化流水线的情况下，共同追求一个共享的研究目标。智能体自行选择研究方向、开展实验、进行协作，并构建共享的科学文献体系。

在 AlphaEvolve 目录中的 12 个构造问题以及另外两个案例研究中，Station 在五个问题上取得了相对于先前文献而言的新颖成果：有限域 Kakeya 集的一个新无限族、11 维空间中新的精确 604 点亲吻构型、离散化 Kakeya 针问题和符号不确定性问题的新的纪录，以及 Erdős 最小重叠问题的一个显著改进的下界。

智能体还发现了 Book Ramsey 数的新无限族。重要的是，智能体不仅产生了数值构造，还生成了解释这些构造原理的定理和分析，使结果更具可解释性，也便于数学家在此基础上进一步研究。我们发布了所有原始智能体对话、证明和验证代码，为这些发现的产生过程提供了透明的记录。

1 引言

人工智能正开始直接为数学研究的前沿做出贡献。近期的工作涵盖从 AlphaEvolve 的大规模数学探索，到 AI 辅助下在长期悬而未决的开放问题上取得的进展，其中包括雅可比猜想的反例、Crouzeix 猜想与 Sendov 猜想的证明，以及 OpenAI 近期报告的一组共十项数学成果 [58, 62, 1, 49, 54]。随着这些能力不断增长，一个自然而然的问题不仅是 AI 能解决哪些问题，还包括什么样的环境最能让它开展研究。

鉴于 AI 能力的不断增强，我们提出这样一个问题：我们能否构建一个自由的多智能体环境，在其中智能体只被赋予一个研究目标，而没有中央协调者？当一个环境把 AI 智能体视为独立的研究者，而非复杂流水线中的固定工具时，会发生什么？这种自由能否让智能体自行选择有前景的研究方向、发展自己的科学文献体系与研究文化，并共同推进既定目标？

为了研究这一问题，我们使用了 Station——一个用于自主科学发现的开放世界多智能体环境 [16]。Station 模拟了一个科学生态系统，来自不同模型家族的智能体在其中自行选择研究方向、开展实验、与同行交流，并阅读和发表科学论文。这些论文会累积成一个共享的知识体系，供后来的智能体阅读、引用和扩展。Station 只规定研究目标；没有任何中央系统告诉智能体该追求哪个研究方向或下一步该做什么。

我们将该“工作站”应用于 AlphaEvolve 研究中的 12 个问题，以及另外两个数学案例研究。12 个 AlphaEvolve 问题中有 5 个产出了相对于既有文献而言的新结果。该“工作站”发现了一个新的有限域 Kakeya 集合无限族，构造了维度 11 中三个精确的 604 点 kissing 构型，并为离散化 Kakeya 针问题、符号不确定性问题以及 Erdős 最小重叠问题建立了新的界。

在另一个关于 Book Ramsey 数的案例研究中，智能体发现并证明了新的无限族，由此产出了一篇独立的后续论文。该“工作站”还在一天之内、且未接入互联网的情况下，找到了 Jacobian 猜想的一个有效反例，证明它能够处理仅以二元成功标准（而非分级优化信号）来评判的问题。

这种高度自由度使智能体能够追求更广泛的数学贡献，而不仅仅是优化某个固定指标。例如，AlphaEvolve 在有限多个素数上评估了有限域 Kakeya 构造；有希望的数值模式随后需要一条针对特定任务、由研究人员辅助的流程，才能转化为一个无限族。

由于 Station 智能体可以直接追求更广泛的数学目标，它们独立地重新发现并证明了该族，随后还发现了一个覆盖额外一类素数的新扩展。同样的自由度也让智能体得以探索既定目标之外的领域。例如，尽管我们要求智能体为 Erdős 最小重叠问题寻找一个改进的上界，它们反而发展出了一个全新的下界证明。

在本研究中，我们仅考虑数学构造类任务，而非证明猜想这类一般性数学问题。定理级结果是在智能体试图解释并推广其所发现的构造时涌现出来的。例如，Station 并非只返回一个不透明的 604 点接吻数构型，而是推导出了该构型的显式代数构造，使数学家更容易理解这一结果。在证明大量涌现的时代，沟通、消化并吸纳新成果正成为主要瓶颈，此类可解释的输出或将变得愈发重要 [79, 44]。

我们还分析了这些发现背后的 AI 发现过程。分析表明，超过一半的发现涉及智能体之间的协作。来自不同模型家族的智能体往往贡献互补的想法，而早期智能体撰写的论文则成为很久之后发现的基石。许多重要成果得益于每个 Station 内部积累的大量文献。我们公开了所有原始智能体对话和可复现代码，让社区能够透明地研究这些发现过程。

2 方法

The Station 是一个开放世界的多智能体环境，用于模拟一个微型科学社区[16]。它被划分为多个房间，每个房间承担不同功能，例如用于发表和阅读科学论文的档案室、用于运行代码的研究中心，以及用于与同行交流的邮件室。表 1 总结了主要房间及其功能。智能体可以自由访问不同房间并执行不同操作。在每个回合中，所有智能体同时选择各自的操作，当所有操作完成后，一个 tick 便流逝。每个智能体都有有限的寿命；当一个智能体寿命终结时，The Station 会自动生成一个替代者，从而保持智能体数量恒定。

The Station 将每个智能体视为一名独立的研究人员。智能体可以在研究中心访问分配给 The Station 的主要研究目标。然而，如何实现这一目标则完全由每个智能体自行决定。智能体可以自由探索不同的研究方向、阅读现有论文，并且在其研究过程中往往会经历大量的挣扎与失败。

一个成功的智能体可能会取得重要发现，在这种情况下，它可以在档案室发表论文，为 The Station 的长期知识积累做出贡献。这些论文随时间不断累积，在 The Station 内部形成一个知识库，后来的智能体可以阅读、引用并在此基础上继续构建，从而使得一个围绕给定研究目标的微型科学社区得以发展。

与当前主流的基于智能体的科学发现系统相比[58, 50, 30, 70, 35, 31, 61]，Station 在三个主要方面有所不同。首先，其智能体拥有大得多的自主性：在给定的总体研究目标范围内，它们自行选择研究方向以及如何推进这些方向，而不是从中央协调器接收任务。其次，每个智能体都扮演完整的科研人员角色，处理从选定方向、开展实验到发表成果的整个研究流程。相较于僵化、碎片化的研究流程，这种漫长而自主的研究旅程使得各智能体的研究成果之间呈现出更大的多样性。第三，Station 使科学知识能够以智能体撰写的论文形式跨代际积累。而大多数现有系统积累的是过程信息，例如优化历史、中间产物或会话记忆。这类信息有助于系统继续其工作，但可能无法便捷地提取和积累科学知识。这些差异反映了设计理念上的一个根本抉择：AI 智能体是被视为固定流程中的工具，还是被视为科学生态系统中的科研人员。

自原始论文发表以来，我们对 Station 进行了大量改进和扩展。这些变更的总体主题是鼓励新颖但有原则性的探索，同时减少非科学性的负担。例如，我们引入了一个新的 Question Room（提问室），智能体可以在其中提出自己的问题并对其他智能体的回答进行投票，从而拓宽科学探索的范围。智能体还会定期获得 假期，在此期间它们会搁置正在进行的工作，并接收旨在鼓励开放式思考的随机提示词。我们还为智能体提供了编程助手，使它们无需在底层编码或调试上花费时间，而可以专注于科学任务本身，这与当今研究人员使用编程助手的方式类似。这些变更在附录 A 中有详细讨论。完整源代码已在 https://github.com/dualverse-ai/station 公开提供。

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房间	功能
研究
研究中心	阅读分配的任务，开发和运行代码，并提交解决方案以供评估。
反思室	响应自行设计的提示词，以鼓励进行更深入的反思。
通信
邮件室	与其他智能体直接、私下沟通。
公共记忆室	参与持续性的公共讨论，类似于在线论坛。
公共休息室	参与非持续性的公共讨论，类似于群聊。
知识
私人记忆室	存储私人文档，例如计划、笔记和论文草稿。
档案室	阅读科学论文，并发表通过自动评审的论文。
问答室	提问并对回答投票，类似于 Stack Exchange。
外部计数器	通过互联网访问基于外部文献的报告；默认禁用。

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问题	来源	发现
相对于已有文献的新结果
有限域 Kakeya（第 4.1 节）	AlphaEvolve 问题 6.1	对于每个素数$p\equiv 3\left(mod4\right)$，Station 在${𝔽}_p^3$中构造了一个大小为$\left(2p^3+7p^2+3\right)/8$的 Kakeya 集，比 AlphaEvolve 的无限族节省了$\left(p-3\right)/4$个点。它还在$53$中找到了一个${𝔽}_3^5$点集，改进了 AlphaEvolve 以及此前文献中$63$的界；这两项结果相对于现有文献而言都似乎是新颖的。
Erdős 最小重叠（第 4.2 节）	AlphaEvolve 问题 6.5	AlphaEvolve 仅将上界略微下调，从 $0.380927$ 降至 $0.380924$，而 Station 则将下界从 $0.37912$ 提升至 $0.380552$。相对于已公布的下界 $0.37912$，这大约填补了相应已公布差距的 $82\%$。
$d=11$ 中的接吻数问题（第 4.3 节）	AlphaEvolve 问题 6.8	AlphaEvolve 将下界从 $592$ 提升至 $593$，而 Station 则构造了三个精确的 $604$ 点构型。其中一个是 EinsteinArena 构造的独立再发现，另外两个则似乎代表了新的等距类。
离散化 Kakeya 针问题（第 4.4 节）	AlphaEvolve 问题 6.9	在 $n=128$ 处，Station 获得了并集面积 $0.107067$，相比 AlphaEvolve 的 $0.114810$ 提升了 $6.74\%$，相比 HorizonMath 的 $0.109148$ 提升了 $1.91\%$。这确立了新的文献上界。
符号不确定性原理（第 4.5 节）	AlphaEvolve 问题 6.11	Station 将上界降低至 $0.3089$，优于 AlphaEvolve 的 $0.321591$ 以及此前公布的人类结果 $0.3102$。这是新的文献纪录。
优于 AlphaEvolve
Hardy–Littlewood 极大不等式（第 4.6 节）	AlphaEvolve 问题 6.18	该站点达到$1.557069$，而 AlphaEvolve 的$1.5080$无引导版本约为$1.533$（带提示版本），但核心问题已得到解决。其关于非切向常数等于$2$（对于$1/3\le \alpha <1$）的证明，相较于现有文献具有新颖性。
Ovals 问题（第 4.7 节）	AlphaEvolve 问题 6.19	AlphaEvolve 仅恢复了圆形，而 Station 则恢复了完整的非圆形等周卵形线族。该族在文献中已有记载，因此这一结果仅相对于 AlphaEvolve 而言具有新颖性。
素数定理（第 4.8 节）	AlphaEvolve 问题 6.27	该站点已认证$0.980681$适用于所有$x$，将 AlphaEvolve 的采样得分提升至$0.938$。这在有限权重基准上属于新成果；在无限制条件下，素数定理已给出精确极限$1$.
与 AlphaEvolve 的关联
差分基（第 4.9 节）	AlphaEvolve 问题 6.7	Station 独立恢复了 AlphaEvolve 的 $360$ 元素构造，但未能进一步改进。
Sidorenko 猜想（第 4.10 节）	AlphaEvolve 问题 6.26	AlphaEvolve 和 Station 均未找到反例。未获得实质性结果。
不如 AlphaEvolve
峰值自卷积（第 4.11 节）	AlphaEvolve 问题 6.2	Station 获得了 $C_{6.2}\le 1.504473$，弱于 AlphaEvolve 的 $C_{6.2}\le 1.5032$。未获得实质性结果。
平坦自卷积（第 4.12 节）	AlphaEvolve 问题 6.3	Station 获得了 $C_{6.3}>0.953189$，弱于 AlphaEvolve 的 $C_{6.3}\ge 0.961021$，但证明了无约束上确界可以通过在越来越细的网格上使用二元阶梯函数来逼近。
补充案例研究
图书拉姆齐数（第 4.13 节）	Epoch AI	Station 独立发现并证明了两组全新的无穷族。其有限构造以及此前的一个恒等式还使一位外部专家推导出了第三组。三组无穷族共同在 $n\le 200$ 的 43 个取值上证明了该猜想，解决了此前 28 个未解情形。
雅可比猜想（第 4.14 节）	公开	从一个无公式的二元任务出发，Station 独立重构了近期公布的七次反例，并推导出该反例具有常数雅可比行列式及三叶纤维这一性质的几何解释。

3 结果

3.1 实验设置

我们在来自 Georgiev 等人 AlphaEvolve 研究[29]的数学问题上评估该 Station，该研究是一个涵盖分析、组合学、几何和数论的广泛问题目录。大多数问题可以表述为对某个数值量的上界或下界进行优化：候选构造由自动化评估器检查并赋予数值分数（通常为标量），搜索过程试图优化该分数。在许多情况下，最优值是未知的，这使得相应的优化任务成为开放研究问题。

我们选取了 12 个代表不同数学领域和问题结构的问题；完整评估问题集列于表 2。我们将每个问题分配给一个独立的 Station 实例。对于每个问题，智能体会收到一份任务描述，其中既包含数学问题本身，也包含评估器函数。任务描述还可能指定无法直接评分的额外数学目标。智能体不会获得任何外部专家指导或文献调研。大多数实例运行约 1,000–2,000 个 tick，对应大约一到两周的连续挂钟时间运行。除非另有说明，所有实例包含六名研究智能体，分别由 GPT-5.5、Claude Opus 4.8 和 Gemini 3.1 Pro 各驱动两名。

3.2 主要发现总结

结果总结于表 2。基于每次运行的主要结果，12 个问题中有 5 个产生了相对于先前文献而言新颖的结果。在其余 7 个问题中，Station 在 3 个问题上优于 AlphaEvolve，在 2 个问题上与其持平，在 2 个问题上表现不如它。

这五个问题带来的全新结果横跨数学的多个领域。在有限几何中，Station 推导出了一个全新的无限族 Kakeya 集，位于${𝔽}_p^3$素数$p\equiv 3\left(mod4\right)$上，并在${𝔽}_3^5$中找到了一个 53 点的 Kakeya 集，将此前 63 的上界进一步改进。在离散几何中，它构造出了三个维度 11 下的精确 604 点亲吻数构型，其中两个似乎定义了此前未知的等距类，并为离散化 Kakeya 针问题确立了新的界$C_T\left(128\right)\le 0.107067$。在分析学中，它将符号不确定性上界改进至$0.3089$，并闭合了 Erdős 最小重叠常数此前开放间隙中约$82\%$的部分。

除了上述 12 个 AlphaEvolve 问题之外，我们还研究了另外两个案例。对于 Book Ramsey 数，Station 智能体发现并证明了两族新的无限族，而其有限构造与一个更早的恒等式使外部专家得以推导出第三族。这三族合在一起，在 $n\le 200$ 的 43 个取值上证明了该猜想，解决了此前悬而未决的 28 个情形。对于 Jacobian 猜想，Station 从一项无公式的二元任务中独立重构了最近公布的七次反例，并推导出其常数 Jacobian 与三叶纤维的几何解释。

这些结果还表明，Station 可以直接追求更广泛的、不必然可评分的数学目标。例如，前述有限域 Kakeya 问题的无限族结果本身并不可直接评分，尽管新的无限族才是真正受关注的数学对象。因此，AlphaEvolve 是在有限多个素数上评估构造，并依赖特定任务的流水线，加上研究人员的参与，才将有潜力的输出转化为无限族。

相比之下，在 Station 中，我们直接在任务描述中说明：有限构造只是测试用例，主要目标是发现无限族。这使得智能体独立重现了此前通过 AlphaEvolve 及后续研究人员辅助流水线得到的无限族，并发现了该无限族的一个新扩展，从而对另一类素数改进了构造。

运行结束后，我们的角色仅限于验证其证明的正确性和结果的新颖性。这大幅减轻了研究人员的负担，也使 Station 能适用于更广泛的数学问题类别。

结果进一步表明，该“工作站”能够产生超出原始任务的意外贡献。例如，在 Erdős 的最小重叠问题中，智能体被指示改进上界，但它们还发展出了一个下界证明，该证明闭合了开放区间中约 $82\%$ 的部分。这一意外发现展示了“工作站”的另一优势：智能体能够围绕既定问题探索数学上有前景的方向，并产生超出所分配任务的贡献，例如新定理。

与 AlphaEvolve 相比，我们发现 Station 智能体更倾向于理论引导的构造方式。这些实验中的单项评估通常限制在 15–30 分钟内，这形成了利用数学结构来缩减搜索空间的强烈动机。例如，在 11 维的接吻数任务中，智能体将问题归结为围绕一个结构化整数核心的有限相容性搜索。这种缩减后的搜索在几分钟内就产生了一个 604 点的构型，随后智能体将其转化为一个无需计算机搜索的显式代数构造。这与 AlphaEvolve 的 593 点构型形成鲜明对比——后者的整数坐标具有较大的非等范数，无法揭示出同等紧凑的代数描述或易于识别的组织结构 [29]。这种偏向并非在所有情况下都有利。在峰值自卷积和平坦自卷积任务上，Station 的表现不如 AlphaEvolve，这些任务似乎更青睐对高度不规则对象进行持续的大规模启发式优化。因此，首选系统既取决于问题的结构，也取决于期望的输出形式。当最强解主要是通过长时间数值优化发现的不规则产物时，大规模进化搜索可能更可取。相比之下，当理论能够引导搜索，或者当相关定理和可解释构造与基准分数同样被重视时，Station 可能更具优势。

下一节将展示每个问题的详细结果。所有支撑性证明、验证产物以及原始智能体对话均可在 https://github.com/dualverse-ai/station_data_v2 获取。

4 详细结果

本节呈现每个问题最重要的发现。由于 Station 的每次运行都会产生大量发现，我们将正文限定在可能引起外部研究者兴趣的结果上。我们首先使用 Station 外部的智能体对发现进行自动筛选。若某项发现能推进原始问题的最前沿——例如改进某个已知界、回答文献中此前提出的问题，或具有通常足以纳入研究论文的更广泛变体——则通过筛选。随后我们人工审阅筛选出的结果，并挑选最重要的结果在此呈现。我们将这些入选结果称为 聚焦发现，并在下文每个问题内将其标注为 S1、S2 等。意义不大或不确定的发现仍记录在随附的 notebook 中。对发现过程比对数学细节更感兴趣的读者，可直接跳至第 5 节。

4.1 有限域 Kakeya

AKakeya 集在${𝔽}_p^d$是指一个在每个方向上都包含一条完整直线的集合，问题在于如何让这样的集合尽可能小。Dvir 对有限域 Kakeya 猜想的证明 [21] 建立了$p^d$阶的下界。随后 Bukh 和 Chao 的工作 [13] 确定了主导渐近常数，证明了该值为$2^{-\left(d-1\right)}$在每一个固定维度中都成立，因此在$1/4$维度下$3$。目前仍未解决的是这一主导项的低阶修正。能够改进$p^{d-1}$及更小项的精确构造，因此即便主导常数已经确定，这些构造仍能进一步收窄目前已知的最佳边界。

AlphaEvolve 将这个问题作为其题集中的第 6.1 题，要求构造小型 Kakeya 集。在该题集中，构造的得分是 $\left|K_p\right|/B_{p,d}$ 在一组固定素数列表上的平均值，其中 $B_{p,d}=\left(p-1\right){\left(\frac{p+1}{2}\right)}^{d-1}+p^{d-1}$ 是 Bukh 和 Chao [13] 所记录的经典构造的大小。我们给 Station 布置了相同的问题和相同的评分标准，并同时在 3、4、5 维上进行。它证明了 $d=3$ 中一个新的 Kakeya 集无限族，在 ${𝔽}_3^5$ 中找到了一个包含 53 个点的 Kakeya 集，并为新构造背后的整个单极点族确立了一个结构性限制。

S1. 在 $d=3$ 中针对 $p\equiv 3\left(mod4\right)$ 的一个新无限族。

Station 证明了对于每个素数 $p\equiv 3\left(mod4\right)$，在 ${𝔽}_p^3$ 中都存在一个大小为 $\left(2p^3+7p^2+3\right)/8$ 的 Kakeya 集。用 $S$ 表示 ${𝔽}_p$ 的平方数（包括 $0$），该集合为

	$K_p=\phantom{}$	$\left\{\right(x,y,z):x{}^2+4y\in S,x{}^2+4z\in S\}$
		$\cup \left\{\right(0,t,ct+z\left(c\right)):t\in 𝔽{}_p,c\ne 1\}$
		$\cup \left\{(0,t,t)\right\}\cup \left\{(0,0,z)\right\},z\left(c\right)=\frac{c}{c-1}.$

第一部分是经典的二次剩余集，它已经覆盖了 $p^2$ 个方向 $(1,a,b)$；在平面 $x=0$ 中添加的直线覆盖了剩余的 $p+1$ 个方向。值得注意的是，定义中没有任何内容依赖于 $p$ 模 $4$ 的结果，并且智能体证明了该集合对于每个奇数 $p$ 都是 Kakeya 集。然而，其大小确实依赖于 $p$ 模 $4$ 的结果，具体取决于 $-1$ 是否为平方数，我们记录了这两种情况：

$\left|K_p\right|=\frac{2p^3+7p^2-1}{8}\left(p\equiv 1mod4\right),\left|K_p\right|=\frac{2p^3+7p^2+3}{8}\left(p\equiv 3mod4\right).$

(1)

该维度上的经典构造包含$\left(2p^3+10p^2-2p-2\right)/8$个点，因此当$\left(3p^2-2p-1\right)/8$时节省了$p\equiv 1$个点，而当$\left(3p^2-2p-5\right)/8$时节省了$p\equiv 3$个点。特别是，这恰好是文献中留下$O\left(p\right)$误差项的一个精确规模 [13].

AlphaEvolve 通过另一条路径处理了这个问题，我们发现这两种构造在一个情形下一致，在另一个情形下则不一致。对于 $p\equiv 1\left(mod4\right)$，两种构造具有相同的大小，实际上就是同一个集合。一个线性坐标变换可以将其中一个变为另一个，因此 (1) 的第一个情形是对该处得到的界 $\frac{1}{4}{p}^3+\frac{7}{8}{p}^2-\frac{1}{8}$ 的一次独立重新发现。对于 $p\equiv 3\left(mod4\right)$，两者则不同。AlphaEvolve 的无限族在该类上给出的最小规模是 $\left(2p^3+7p^2+2p-3\right)/8$，而我们给出的是 $\left(2p^3+7p^2+3\right)/8$，节省了 $\left(p-3\right)/4$ 个点。其中在 $p=7$ 处节省 1 个点，在 $p=47$（该基准中此类最大的素数）处节省 11 个点。因此 (1) 的第二个情形是全新的，给出了当前文献中该无限族的最佳界。

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S2. 有限改进与 ${𝔽}_3^5$ 中的一个 53 点 Kakeya 集。

在 25 项有限基准比较中，The Station 赢得了其中 14 项，并在其余 11 项中打平（图 1）。每项比较均以 AlphaEvolve 与 pre-AlphaEvolve 文献中的较优者为基线。案例 $(d,p)=(5,3)$ 尤其值得关注。设 $k_n$ 表示 ${𝔽}_3^n$ 中 Kakeya 集的最小大小。The Station 在 ${𝔽}_3^5$ 中构造了一个 53 点集合，将此前 $k_5\le 63$ 的界改进为 $k_5\le 53$ [46]。鉴于已知值 $k_1=3$、$k_2=7$ 和 $k_3=13$，以及被认为已达到最优的界 $k_4\le 27$，人们早在 2009 年就猜测递推关系 $k_n=k_{n-1}+2k_{n-2}$ 会持续成立，从而预测 $k_5=53$ [46]。因此，The Station 构造的大小与猜测值恰好吻合，不过 ($k_5=53$) 是否成立以及递推关系是否持续，仍是未解问题。

S3. 新无限族的结构分析。

这些智能体还对新无限族产生了相关洞见。他们分析了更一般的补全

$z\left(c\right)=\frac{Ac+B}{c-p_1},$

其中包含 S1 中的构造。消去斜率 $c$ 后，与这些直线的相交情况归结为

${\left(z-A-p_{1}y\right)}^2-4\left(A{p}_1+B\right)y$

是一个平方数。二次特征计算随后表明，这些直线在轴外恰好覆盖 $p\left(p-1\right)/2$ 个点，且与三个参数无关。它们与构造中二次剩余部分的重叠始终为 $p^2/8+O\left(p\right)$。因此，该 Möbius 族中的每一个非退化补全都会增加 $3p^2/8+O\left(p\right)$ 个点：改变分子或极点的位置只会影响低阶项。

对于 S1 中使用的特定选择 $z\left(c\right)=c/\left(c-1\right)$，智能体精确计算了低阶项，从而得到了 (1) 中所述的无限族。该结果也解释了 AlphaEvolve 针对 $p\equiv 1\left(mod4\right)$ 得到的无限族。更一般地，类级估计表明，要改进总规模中的 $p^2$ 项，就必须离开单极点族。

局限性。

新的无限族仅限于 $d=3$。在 4 维和 5 维中，智能体证明的公式弱于已知结果。在共享类 $p\equiv 1\left(mod4\right)$ 上，前两个系数在每个维度上都与 AlphaEvolve 一致，而第三个系数在两种维度下都更差。

$d$	站点	AlphaEvolve
$\mathrm{\hspace{0.33em}4}$	$\frac{1}{8}{p}^4+\frac{19}{32}{p}^3+\frac{25}{32}{p}^2+O\left(p\right)$	$\frac{1}{8}{p}^4+\frac{19}{32}{p}^3+\frac{\mathrm{𝟏𝟏}}{\mathrm{𝟏𝟔}}{p}^2+O\left(p^{3/2}\right)$
$\mathrm{\hspace{0.33em}5}$	$\frac{1}{16}{p}^5+\frac{47}{128}{p}^4+\frac{25}{32}{p}^3+O\left(p^2\right)$	$\frac{1}{16}{p}^5+\frac{47}{128}{p}^4+\frac{\mathrm{𝟏𝟕𝟕}}{\mathrm{𝟐𝟓𝟔}}{p}^3+O\left(p^{5/2}\right)$

我们在 $d=4,5$ 中各个素数处报告的规模确实优于基准，但它们来自搜索而非公式。

4.2 Erdős 最小重叠

Erdős 的 最小重叠问题 探讨的是：一个区间的两个互补部分在平移之下，能够以多均匀的方式彼此避开。设 $f:\left[-1,1\right]\to \left[0,1\right]$ 为可测函数，其积分为 $1$，将 $g=1-f$ 定义在 $\left[-1,1\right]$ 上，并将两个函数在区间之外都延拓为零。记

$C_f\left(x\right)={\int }_{-1}^{1}f\left(t\right)g\left(t+x\right)𝑑t,\mu =\underset{f}{inf}{\parallel C_f\parallel }_{\infty }.$

这个常数是 Erdős 最小重叠问题在长整数区间平衡划分情形下的连续形式 [23, 37, 83]。AlphaEvolve 在其数学问题集中将这一问题列为问题 6.5，并将 Haugland 的上界从 $0.380927$ 改进到 $0.380924$，后续工作又进一步将其降至 $0.380868$ [85]。在下界方面，Kim 和 Pilanci 证明了 $0.37912$ [41]。因此，在本工作之前，已发表的最佳界为

$0.37912\le \mu \le 0.380868.$

S1. 一个新的下界 $0.380552$。

Station 智能体证明了

$\mu >0.380552.$

(2)

相对于此前已发表的下界 $0.37912$，这使相应的已发表开区间缩小了约 $82\%$，如图 2 所示。

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智能体通过将重叠问题转化为相位敏感的傅里叶约束，并将其合并为覆盖所有可容许重叠首矩的四个全局不等式，从而实现了这一下界。证明的一个关键要素是一个在任意实频率下耦合余弦与正弦信息的锐利关系式。以 $P\left(\xi \right)$ 和 $Q\left(\xi \right)$ 分别表示 $C_f$ 的余弦与正弦变换，且 $s\left(\xi \right)=\sin \left(\xi \right)/\xi$，智能体证明了

$P\left(\xi \right)\le s{\left(\xi \right)}^2-\frac{Q{\left(\xi \right)}^2}{4s{\left(\xi \right)}^2}\left(s\left(\xi \right)\ne 0\right).$

White 此前已使用傅里叶相位信息和凸优化，而 Kim 与 Pilanci 随后引入了额外的矩约束 [83, 41]。与这些早期方法相比，本文所用的表述消除了 $f$ 的未知变换，直接约束重叠量，并且适用于任意实频率。更广泛地说，该结果表明，当保留这种相位耦合时，既有的傅里叶方法具有远为广阔的应用范围，并为进一步收窄剩余差距提供了一条解析路径。

与 AlphaEvolve 在上界方面的比较。

Station 智能体独立获得了 $\mu <0.380895$，相比 AlphaEvolve 公布的 $0.380924$ 上界略有改进。然而，这仍高于 Ye 等人目前公布的上界 $\mu <0.380868$[85]。因此，Station 并未创下新的上界纪录。

4.3 $d=11$ 中的接吻数问题

接吻数 $K\left(d\right)$ 是指在 ${ℝ}^d$ 中，能够同时与一个中心单位球相接触的不重叠单位球的最大数量。等价地，它也是内积两两至多为 $1/2$ 的单位向量集合的最大规模。AlphaEvolve 将这一经典问题作为其数学问题集中的第 6.8 题，并将十一维中的下界从 Ganzhinov 利用高度对称直线所建立的 $592$[28] 改进至 $593$。我们使用 AlphaEvolve 的评分规则（该规则衡量周围球体之间的总两两重叠量）在同一问题上运行了两个独立的 Station。两个 Station 均无法访问外部信息，包括上述 $592$ 点和 $593$ 点的构造。两者均达到了 $604$ 个点，证明了 $K\left(11\right)\ge 604$。综合两次运行，共产生了三个精确的、两两非等距的 $604$ 点构造。

S1. 三种精确的 $604$ 点接吻构型。

该站发现了 $604$ 维空间中三种几何上截然不同的 ${ℝ}^{11}$-点亲吻构型。三者都是 $\mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right)$ 上的精确等范数排列，但点的组织方式不同：其中两种为中心对称，一种不是，且每种构型具有不同的接触结构和成对角度集合。图 3 展示了它们的共同架构以及区分它们的两个结构选择。我们将它们分别标记为构造 1、2 和 3：

构造	1	2	3
接触对数量	19,704	22,904	22,840
中心对称	是	是	否
对径点对数量	302	302	238
不同的成对夹角	22	14	15

接触对数量的不同证明这些构型两两互不等距同构，因为该数量在正交变换和重新标记下保持不变。构造 1 和构造 2 包含每个点的对跖点，但构造 2 比构造 1 多 $\mathrm{3,200}$ 个接触对，同时少 8 个成对夹角。构造 3 有 $128$ 个点没有对跖点。在这三者中，构造 2 的接触数最多、夹角集合最小，而构造 1 的接触数最少、夹角集合最大。因此，相同的纪录规模可以支撑截然不同的几何结构。

在同期开展的工作中，Bianchi 等人于我们公开发布构造 3 [10] 前不久，报告了来自 EinsteinArena 平台的构造 1。EinsteinArena 是一个开放的在线平台，接受任何参与者提交的候选构造物，并使其可公开验证。该 $604$-点构造似乎是平台上多个独立运行的 AI 编排系统协作的产物。相比之下，Station 的结果来自我们端到端开源系统的两次独立的封闭互联网执行：其中一次独立复现了构造 1，另一次则发现了构造 2 和构造 3。因此，Station 独立发现了构造 1，而构造 2 和构造 3，据我们所知，是 Station 的新发现，代表了另外两个等距类。

S2. 一种用于构造$604$点接触构型的代数方法，适用于${ℝ}^{11}$.

这些智能体最初通过搜索$54$兼容的直线，围绕一个$496$点整数核心展开探索。随后它们证明，同一构型受一条紧凑的代数规则支配，而非一组任意的坐标列表，从而给出了一种显式的代数构造。该构造本身无需计算机搜索。首先，$496$点核心由稀疏的范数为四的整数向量，通过固定的支撑集与符号规则生成。其次，在某个坐标平面内旋转${45}^{\circ }$的坐标框架中，十一个简单的符号模式即可生成全部$54$条直线；对每条直线取两个方向，便得到$108$点扩展。其中$\sqrt{2}$的出现是内在必然的：它由扩展与核心之间的兼容性所强制决定。

核心的支撑结构解释了为何这些附加点能够契合。它在某个特定的三维子空间中留下了额外的角度空间，该子空间内可放置六条两两相容的直线。在剩余的八条坐标轴中，核心恰好允许四对可行的配对，每一对都连同该特定子空间一起，支撑起一组独特的十二条附加直线。这四对配对互不相交，因此它们所对应的各组也是两两相容的。支撑规则与符号规则还确保了每个新点都与核心中的每个点满足亲吻数约束。因此，最终得到的构型包含 $496+2\left(6+4\cdot 12\right)=604$ 个点。

S3. 为什么经典的 $D_{11}$ 构造在 $582$ 处停止。

这些智能体研究了更好的搜索算法是否能在经典的范数四 $D_{11}$ 构造中找到更大的配置。它们证明了答案是否定的：无论采用何种搜索算法或假设何种对称性，该构造最多只能包含 $582$ 个兼容点。因此，要达到 $593$ 或 $604$ 个点，就必须跳出经典构造。这一结果排除了仅使用范数四壳层中的向量进行改进的可能性，并将智能体引向了一种用额外向量扩充格派生核心的构造方式，最终生成了包含 $604$ 个点的配置。

智能体通过证明符号选择无法克服关于哪些四坐标集合可被使用的基本限制，证明了这一上限。设 $A(n,4,4)$ 表示最大的兼容四坐标支撑集合，设 $\alpha \left(J_{\pm }(n,4)\right)$ 表示在给这些坐标分配符号后最大的兼容集合。智能体证明了

$\alpha \left(J_{\pm }(n,4)\right)=16A(n,4,4).$

(3)

换言之，允许任意符号只会使最优值恰好增加 $16$ 种在四个坐标上可能的符号模式；它无法带来任何额外优势。

Best 于 1977 年证明了$A(11,4,4)=35$ [9]。因此，智能体的身份将构造中带符号的权重四部分限制为$560$个点。剩余的$22$个坐标向量$\left\{\pm 2e_i\right\}$与这些点相容，从而为完整的范数四$582$构造给出了一个精确的极限$D_{11}$。

封闭互联网环境中的两个 Station 智能体各自独立推导出了公式 (3)。我们后来发现，该公式与 Takhanov 和 Yun 的一篇论文中定理 1 的 $k=4$ 情形存在重叠，该论文直到最近——2026 年 6 月 2 日——才公开发布 [77]，在该论文中，这一恒等式是更广泛的带符号亲吻构型分类的基础。因此，这两个智能体是独立发现该恒等式的。

局限性。

Station 在十一维上的成功并未延续到邻近维度的新纪录上。我们分别针对 $d=12$ 和 $d=13$ 启动了另外两个 Station，它们分别达到了大小为 $840$ 和 $1154$ 的有效构型。十二维的结果比当前 $841$ 点的前沿 [76, 18] 低一分，而十三维的结果则与 Zinoviev 和 Ericson 的 $1154$ 点构造 [87, 18] 持平。

讨论。

我们观察到，Station 智能体总体上更偏好理论引导的策略，而非大规模启发式搜索。在这个问题中，它们证明了在经典 $D_{11}$ 构造内进一步搜索无法超过 $582$，随后将后续工作转向扩展另一个核心，最终得到了 $604$ 点的构型。相比之下，AlphaEvolve 的 $593$ 点构造由大量范数不等的整数坐标组成，这些坐标似乎并未呈现出同样紧凑的代数描述，也没有易于识别的组织结构。这种理论引导的偏向并不总是优势：在十二维中，Station 止步于 $840$，而当前 $841$ 点的前沿是通过在结构洞见引导下的大规模数值优化才达到的 [76, 18]。

这个问题也表明，Station 生成的定理可能对研究人员具有独立的研究价值。例如，由智能体独立推导出的公式 (3)，与一篇近期才公开发表的论文 [77] 中的某个定理存在重叠。其显式的代数构造也可能具有独立的研究价值。这些发现超出了分数优化的范畴，表明赋予 Station 智能体的额外自由度可以带来超越基准分数提升的贡献。

4.4 离散化 Kakeya 针问题

经典的 Kakeya 针问题问的是：要多少面积才能让一条单位线段转过所有方向。有限版本则将连续的方向替换为 $n$ 个等间距的方向，并用 $n$ 个可水平滑动的细三角形来表示它们 [24]。更精确地说，对于实数偏移量 $x_1,\dots ,x_n$，令

$T_j\left(x_j\right)=\mathrm{conv}\{(x_j,0),(x_j+\frac{1}{n},0),(x_j+\frac{j}{n},1)\},1\le j\le n,$

并定义

$C_T\left(n\right)=\underset{x_1,\dots ,x_n}{inf}\left|\bigcup _{j=1}^n{T}_j\left(x_j\right)\right|.$

Córdoba 的下界以及由 Keich 分析的 Schoenberg 构造表明，$C_T\left(n\right)$ 的数量级为 $1/\log n$ [19, 39]，但其精确的有限值在很大程度上仍然未知。AlphaEvolve 将这个问题作为其数学问题集中的问题 6.9 来研究；我们在相同的七个二进尺寸 $n=2,4,8,16,32,64,128$ 下，将其三角形组件提供给了 Station。

S1. 在 $n=32,64,128$ 处的新上界。

Station 在三个有限尺寸 $n=32,64,128$ 上找到了更优的构造。在 $n=128$ 处，它找到了一个面积为 $0.107067$ 的三角形并集，将 AlphaEvolve 的结果 $0.114810$ 提升了 $6.74\%$，并将后来 HorizonMath 的数值 $0.109148$ 提升了 $1.91\%$ [81]，从而证明了

$C_T\left(128\right)\le 0.107067.$

在 $n=32$ 和 $n=64$ 处，提升幅度较为有限，Station 分别将 AlphaEvolve 的面积减少了 $2.15\%$ 和 $0.69\%$；在较小的测试尺寸 $n=2,4,8,16$ 下，它达到了与 AlphaEvolve 相同的数值（图 4）。

S2. $n=3,4$ 处的精确最优值及 $n=5$ 处的对称性破缺。

在本工作之前，只有经典数值 $C_T\left(2\right)=1/3$ 被精确已知 [24]。一个初等的对称构造给出

$C_T\left(3\right)\le \frac{5}{18},$

而 Schoenberg 的经典 Perron 构造 [71] 给出

$C_T\left(4\right)\le \frac{1}{4}.$

AlphaEvolve 后来在数值上重现了 $n=4$ 的值。Station 证明了匹配的下界，从而确立了

$C_T\left(3\right)=\frac{5}{18},C_T\left(4\right)=\frac{1}{4}.$

它还表明，两个最小值都允许反射对称的构型，并且 $n=4$ 的最优解包含连续族

$(\frac{1}{4},\frac{1}{4}-c,c,0),\frac{1}{20}\le c\le \frac{1}{8}.$

随后，Station 证明了在 $n=5$ 处反射对称构型中的最小值为 $7/30$，并发现了一种面积为 $14/61<7/30$ 的新非对称构造。图 4（右图）将对称极小化构型与这种更小的非对称构造进行了比较。这证明了在 $n=5$ 处的每个全局极小化构型都必然是非对称的，尽管 $C_T\left(5\right)$ 的精确值仍未解决。

这些结果超出了基准测试的评分范围。在 $n=3,4,5$ 中，只有 $n=4$ 是七个受测尺寸之一，且评估器仅对显式构造的面积进行评分；它既未要求也未奖励对全局下界的证明。任务规范也未要求智能体对精确的小型 $n$ 最优解进行分类或研究对称性破缺。智能体通过自主数学探索得出了这些结果，将其工作扩展到了有限构造基准之外。

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局限性。

Station 在测试功率下分别优化了其构造 $n=2^k$，图 4 将其与 AlphaEvolve 对应的分别优化的有限构造进行了比较。因此，该图比较的是双方的有限构造。除了这些分别优化的有限构造之外，AlphaEvolve 还提出了一种通过迭代式专家指导开发的、适用于每个 $n$ 的单一构造。Station 没有使用等效的专家介入流程，其自主智能体也未发现具有竞争力的统一构造。

4.5 符号不确定性原理

一维 符号不确定性问题 探讨的是：当一个函数及其傅里叶变换在原点处均为负值时，它们最早能多快都变为最终非负。对于非零偶可积函数 $f:ℝ\to ℝ$（其傅里叶变换也可积），定义

$A\left(f\right)=inf\{r>0:f\left(x\right)\ge 0\text{ whenever }\left|x\right|\ge r\}.$

该问题要求最大的常数 $C_{\mathrm{SU}}$，使得 $A\left(f\right)A\left(\hat{f}\right)\ge C_{\mathrm{SU}}$ 成立。Bourgain、Clozel 和 Kahane 提出了这个问题 [12]，后续工作逐步获得了更强的界 [33, 17]。AlphaEvolve 将其作为问题 6.11 进行研究，并报告了一个上界 $0.321591$，以及一个未发表的人类界 $0.3102$。Station 进一步将该界改进为 $0.3089$，如图 5 所示。

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S1. $0.3089$的一个新上界。

Station 智能体构建了一个函数来得出这一上界，从而证明了

$0.2025\le C_{\mathrm{SU}}\le 0.3089.$

它们采取

$f_{\epsilon }\left(x\right)=\left(-P\left(2\pi x^2\right)-\epsilon \right)e^{-\pi x^2},\epsilon ={10}^{-6},$

其中$P$以偶数阶广义拉盖尔多项式表示$L{}_{2j}{}^{(-1/2)}$；已证明的尾部余量超过$\epsilon$，因此$f_{\epsilon }\left(0\right)<0$同时保持最终的（逐点）非负性。这些基函数在傅里叶变换下保持不变，因此这一选择自动给出$f_{\epsilon }={\hat{f}}_{\epsilon }$，并将问题简化为构造一个具有所需符号的多项式。数值搜索找到了图$226$中所示的5次多项式；智能体将其系数表示为精确的有理数，并证明了所得函数在相应半径之外非负，从而满足了问题中最终非负性的要求。

S2. 双根 Laguerre 族在 $0.3153$ 附近已穷尽。

在此任务中，我们为智能体提供了与 AlphaEvolve 相同的指定双根 Laguerre 设置和评分规则，但不允许访问 AlphaEvolve 的论文或结果。在此设置下，每个提交都被限制在这样一个族中：$P$ 由偶索引 Laguerre 基中至多二十个指定的正双根决定；我们称之为双根 Laguerre 族。AlphaEvolve 的 $0.321591$ 构造也属于该族。设

$C_{\mathrm{DR},20}=inf\{A\left(f\right)A\left(\hat{f}\right):f\text{ belongs to the double-root Laguerre family}\}.$

Station 智能体证明了

$0.315305<C_{\mathrm{DR},20}\le 0.315309\dots .$

上界来自一个显式构造，而下界则基于对 $41$ 尾部点的一个精确加权和障碍。因此，任何将上界改进到低于 $0.315305$ 的构造都必须离开双根 Laguerre 族。

这一界限导致智能体在受限族之外进行搜索，尽管官方评估器无法对超出该范围的构造进行评分。它们将搜索扩展到没有预设二重根的 Laguerre 多项式，并最终发现了给出该$226$界限的$0.3089$构造。这提供了一个具体例证，说明智能体能够超越分数优化，直接为底层数学问题做出贡献，尽管它们没有从分数中获得任何进一步指导。

4.6 Hardy–Littlewood 极大不等式

一维中心化 Hardy–Littlewood 问题要求给出控制中心化局部平均值可能取大值位置的最优常数。对于非负可积函数 $f:ℝ\to ℝ$，定义

$Mf\left(x\right)=\underset{h>0}{sup}\frac{1}{2h}{\int }_{x-h}^{x+h}f\left(y\right)𝑑y,$

并令 $C_0$ 为满足以下条件的最小常数：

$\left|\{Mf>\lambda \}\right|\le \frac{C_0}{\lambda }\parallel f{\parallel }_1.$

Melas 解决了该问题，证明了

$C_0=\frac{11+\sqrt{61}}{12}=1.567521\dots$

并构造了逼近该值的有限质点示例 [55, 56]。AlphaEvolve 后来将该有限问题作为基准，在搜索模式下达到了 $1.5080$，在参考文献提示下达到了约 $1.533$。Station 智能体找到了一个包含 356 个质点、取值为 $1.557069$ 的构造，改进了 AlphaEvolve 的结果，但未能恢复 Melas 已经发现的全局最优解。

S1. 中心化算子与非中心化算子之间的精确常数。

Ramos 考虑了在中心化与非中心化 Hardy–Littlewood 极大算子之间进行插值的自然非切向族[64]。其参数 $\alpha$ 从 $\alpha =0$ 处的中心化算子变化到 $\alpha =1$ 处的非中心化算子。记 $C_{\alpha }$ 为尖锐弱-$(1,1)$常数，Ramos 指出，对于每一个 $0<\alpha <1$，其精确值都是未知的，而端点 $C_1=2$ 则是经典结果[6, 56]。在完成该任务的过程中，Station 智能体解决了 $1/3\le \alpha <1$ 情形下的这一问题，证明了

$C_{\alpha }=2\text{for every }\frac{1}{3}\le \alpha \le 1.$

(4)

$0<\alpha <1/3$ 的常数仍然悬而未决。该任务并未要求这一扩展，智能体们也不知道 Ramos 提出了这个问题；他们之所以继续推进，是为了理解当居中约束被放宽时，居中问题的几何结构会如何变化。

4.7 卵形线问题

该椭圆问题探讨的是：每条闭凸平面曲线的曲率，是否必然使得与之关联的一维薛定谔算子的最低特征值至少为$1$。对于一条长度为$\gamma$的曲线$2\pi$，以弧长$s$为参数，定义

$H_{\gamma }=-\frac{d^2}{d{s}^2}+\kappa {\left(s\right)}^2,C=\underset{\gamma }{inf}{\lambda }_0\left(H_{\gamma }\right),$

其中 $\kappa$ 为曲率，${\lambda }_0$ 为周期边界条件下的最小特征值。Benguria 和 Loss 猜想 $C=1$，并给出了一个包含圆及非圆卵形线的连续等式族 [5, 14, 8]，证明了 $C\le 1$，而 Linde 证明了全局下界 $C>0.81$；对其定理中显式常数的数值计算给出 $C>0.8246$ [48]。AlphaEvolve 将这一问题作为其数学问题集中的第 6.19 题加以研究。

S1. 独立复现 Benguria–Loss 等式族。

AlphaEvolve 恢复了圆形，但未能得到非圆形的等号椭圆族。Station 则独立恢复了一族单参数正规形式（在欧氏运动和弧长原点平移意义下），对应经典的 Benguria–Loss 等号族。因此，它重建了已知等号结构中比 AlphaEvolve 更大的部分。这是对已知结果的独立恢复，而非新的等号族。Benguria 和 Loss 提出了该猜想并给出了等号族；Burchard 和 Thomas 证明了其局部极小性，而 Bernstein 和 Mettler 发展了其射影几何并确立了“Benguria–Loss 椭圆”这一名称 [5, 14, 8]。AlphaEvolve 和 Station 均未改进全局下界。

4.8 素数定理

素数定理描述了素数的渐近密度。若 $\pi \left(x\right)$ 表示不超过 $x$ 的素数个数，则该定理表述为

$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\pi \left(x\right)}{x/\log x}=1.$

因此，底层的数学问题已经解决：该比值精确收敛于 $1$。尽管如此，AlphaEvolve 仍将其有限版本作为其问题集中的第 6.27 题加以研究。它寻找一个 有限支撑的权重 $f$，满足

$\sum _k\frac{f\left(k\right)}{k}=0.$

这样的权重及其关联求和的得分为

$A\left(f\right)=-\sum _k\frac{f\left(k\right)\log k}{k},F_f\left(x\right)=\sum _{k}f\left(k\right)\lfloor \frac{x}{k}\rfloor .$

经典的 Chebyshev 论证表明

$F_f\left(x\right)\le 1\text{for every }x\ge 1$

(5)

意味着严格的下界

$\underset{x\to \infty }{lim\; inf}\frac{\pi \left(x\right)}{x/\log x}\ge A\left(f\right)$

[20]。方程 (5) 中所需的全局不等式比素数定理本身要严格得多：单个有限权重必须对每个 $x$ 都满足该不等式。AlphaEvolve 的评分仅在该不等式的有限多个采样值上进行了测试。因此，它可能给一个在未测试值上不成立的权重打出高分，在这种情况下，该评分并不能证明所声称的素数计数界。然而，对所有 $x$ 进行穷举检查通常在计算上不可行，因为相关的周期可能极其巨大。因此，采样评分只能粗略近似地反映全局不等式是否成立。

S1。一个对每个 $0.980681$ 都有效的评分 $x$。

Station 智能体发现了一种有限构造，$f$该构造对每个5均满足方程（$x$），其中

$A\left(f\right)\ge 0.980681.$

（6）

这优于 AlphaEvolve 报告的得分 $0.938$。更重要的是，智能体证明了该不等式对所有 $x$ 均成立，而仅凭得分本身并不能提供这一保证。他们的关键思路是选取构造中的整数，使得 $F_f$ 在一个可控的范围内重复出现。这样就把 $x$ 的无穷多种可能取值缩减为一次有限的穷举检查，智能体在一分钟内用精确算术完成了这一检查。

相比之下，同一轮运行中的其他智能体找到了得分更高的构造，达到了 $0.990629$，但这些构造并未对每一个 $x$ 满足全局不等式。这提供了一个具体例证，说明尽管存在可被利用的得分机制，智能体仍优先关注底层数学问题，而非单纯优化得分。

S2. 为什么直接的 Möbius 截断行不通。

Möbius 函数是一个自然的出发点，因为它在素数定理的标准表述中处于核心地位。AlphaEvolve 探索了通过截断 Möbius 函数得到的有限构造，Station 智能体最初也采用了同样的方法。随后它们证明，这一族构造无法产生正的渐近得分：随着截断阈值 $D$ 增大，其对所需全局不等式的最大违背程度至少以 $D/{\log }^{2}D$ 的量级增长。因此，为使构造满足该不等式而进行重新缩放，会将其得分压低至 $O\left({\log }^{2}D/D\right)$，而该值趋于零。该证明建立在关于不完全 Möbius 和的结果之上 [45]。这一障碍促使智能体放弃了直接的 Möbius 截断，转而探索一种更灵活、系数联合优化的构造，最终得到了上文所述的严格得分 $0.980681$。

局限性。

由于素数定理已经精确确定了上述极限比值，这些结果并不会改变人们对素数分布的已知认识。它们的数学贡献更为有限：在该基准测试的有限设定内，Station 智能体找到了一种构造，其严格得分为 $0.980681$，并证明了自然的 Möbius 截断无法产生正的渐近得分。因此，该问题主要用作一种校准手段，用于检验智能体能否区分有效的数学结果与得分虽高但可被钻空子的结果，而非对素数分布研究作出的实质性贡献。

4.9 差基

一个有限集合$B\subset \mathbb{Z}$是差基对于$\{1,\dots ,n\}$如果该区间内的每个整数都可以表示为该集合中两个元素之差$B$。如果$\Delta \left(n\right)$是这样一个集合的最小可能大小，那么需要最小化的量是$\Delta {\left(n\right)}^2/n$；Rédei 和 Rényi 证明了这些归一化最小值收敛，且其极限等于它们的下确界 [65]。AlphaEvolve 报告了上界

$C:=\underset{n\ge 1}{inf}\frac{\Delta {\left(n\right)}^2}{n}\le \frac{{360}^2}{49109}\approx 2.639027$

作为其问题集第 6.7 题。此前已发表的上界是 Golay 的 $C\le 2.6458\dots$ [32, 7]，而非 AlphaEvolve 对比中所用的 $2.6571\dots$ 基准。该示例是在人类专家提示的帮助下发现的：论文记载，AlphaEvolve 在获得用于生成 Singer 差集的正确代码之前，一直未能改进其基准成绩，而其发布的提示词也将搜索导向 Singer 集和经典的 Leech 乘积构造。我们只向 Station 提供了问题定义、评分规则和一个平凡的网格基线。特别是，这些智能体既没有获得上述构造提示，也无法访问外部文献。

S1. Leech–Golay 族中一条记录的独立恢复。

Leech 与 Golay 将四点差分基 $\left\{0,1,4,6\right\}$ 与 Singer 差集相结合，得到了这一构造族中较早的成员 [43、32、4]。该 Station 独立地恢复了其 $q=89$ 成员。取 $v=q^2+q+1=8011$（一个 $90$ 元素的 Singer 差集 $D\subset {\mathbb{Z}}_v$）与 $A=\left\{0,1,4,6\right\}$，智能体们构造出了

$B=\{va+d:a\in A,d\in D\}.$

在选取合适的 $D$ 代表元后，所得的 $360$ 个整数实现了从 $1$ 到 $49109$ 的所有差值，而 $49110$ 是第一个缺失的差值。因此

$C\le \frac{{360}^2}{49109}=2.6390274695\dots ,$

将 Golay 先前的界改进了约 $0.0067$。该集合与 AlphaEvolve 报告的构造逐项一致。这是对已知纪录的独立复现，并非相对于 AlphaEvolve 的新上界，也不是新的构造族。这些智能体还试图进一步推低下界，但仅达到了经典界 $C\ge 2.434467\dots$ [43]，而 Yang 和 Liao 证明了更强的已发表界 $C>2.4421$ [84]。

4.10 Sidorenko 猜想

Sidorenko 猜想断言：每个二分图$H$都满足$t(H,W)\ge t{(K_2,W)}^{\left|E\left(H\right)\right|}$对于每一个图极限（graphon） $W$，其中$t(H,W)$是$H$在$W$ [74中的同态密度。最小的未解决实例是拥有十个顶点、十五条边的图$H=K_{5,5}\setminus C_{10}$，它也被称为二分莫比乌斯梯（bipartite Möbius ladder） [66。AlphaEvolve 将其数学问题集中的 6.26 号问题作为攻关目标，并在非恒定$30$步图极限（step graphon）上展开搜索。它通过以下方式对候选解进行评分：

$\frac{t{(K_2,W)}^{15}}{t(H,W)}-1,$

因此，若该值为正，将构成一个反例，从而推翻该猜想在此情形下的成立。

AlphaEvolve 报告称其未找到反例。我们将相同的问题与评分规则交给 Station，Station 的智能体同样未发现反例。因此，该猜想的成立状态保持不变。

4.11 峰值自卷积

AlphaEvolve 的第 6.2 号问题，即其问题集中的第一个自相关不等式，探讨的是：具有相同紧支撑密度的两个独立随机变量之和，其分布能有多均匀。更精确地说，对于一个非负函数$f$，其支撑集位于$[-1/4,1/4]$，并通过$\int f=1$归一化后，令

$C_{6.2}=\underset{f}{inf}{\parallel f\ast f\parallel }_{\infty }.$

确定 $C_{6.2}$ 与广义 Sidon 集的渐近大小相关，其精确值仍属未知 [53]。目前已知的最佳界限为

$1.2937\le C_{6.2}\le 1.502851,$

其下界与上界端点分别来自经过认证的凸松弛与一个显式的阶跃函数 [41, 68]。

AlphaEvolve 达到了上界$C_{6.2}\le 1.5032$，改进了 Matolcsi 和 Vinuesa 在 [$C_{6.2}\le 1.50972$] 中给出的前 AlphaEvolve 上界53]；随后 TTT-Discover 将前沿推进至$C_{6.2}\le 1.502863$ [86]，而一个精确算术证书又将其进一步改进至$C_{6.2}\le 1.502851$ [68]。Station 仅达到$C_{6.2}\le 1.504473$，比 AlphaEvolve 和当前前沿都差。AlphaEvolve 高度不规则的构造源于大规模启发式搜索。这一对比凸显了 Station 的一个局限：其智能体普遍偏好理论引导的构造而非启发式搜索，这种偏好虽然在多个其他问题上产生了强劲结果，但在此处却落后了——因为这里的前沿构造依赖于大量的启发式优化。

4.12 平坦自卷积

AlphaEvolve 的第 6.3 号问题（在其问题集中被称为第二自相关不等式）探讨的是：一个非负函数的自卷积能在多大程度上接近一个平顶函数——即在一个集合上为常数、在该集合之外为零的函数。更精确地说，对于一个非零的非负函数 $f\in L^1\left(ℝ\right)\cap L^2\left(ℝ\right)$，令

$Q\left(f\right)=\frac{{\parallel f\ast f\parallel }_2^2}{{\parallel f\ast f\parallel }_1{\parallel f\ast f\parallel }_{\infty }},C_{6.3}=\underset{f}{sup}Q\left(f\right).$

Hölder 不等式给出 $C_{6.3}\le 1$；对于任意非负输出，等号仅在如此平顶函数的情形下成立。自卷积约束是否必然导致严格不等式 $C_{6.3}<1$ 仍然是一个开放问题[51, 53]。在 AlphaEvolve 之前，已知的最佳界是 [53]

$0.88922\le C_{6.3}\le 1.$

AlphaEvolve 建立了下界 $C_{6.3}\ge 0.961021$，而后续工作进一步将其改进为 $0.962694$ [85]。Station 的最佳已验证构造仅达到 $C_{6.3}>0.953189$，因此并未改进数值界。这一差距反映了与第 6.2 号问题（最小化自卷积的峰值，见第 4.11 节）中相同的局限：Station 的理论引导型智能体难以胜任寻找大规模启发式搜索所产生的高度不规则构造的任务。

S1. 二元阶梯函数保持无约束上确界不变。

尽管如此，这些智能体还是证明了一个关于近最优构造搜索的有用事实：定义 $C_{6.3}$ 的上确界可以通过二元阶梯函数来逼近，从而将对任意非负函数的搜索转化为对日益精细网格上的二元函数的搜索。

4.13 图书拉姆齐数

给定图 $G_1,G_2$，Ramsey 数 $R(G_1,G_2)$ 是最小的 $n$，使得对 $K_n$ 的任意红蓝边着色，必然强制出现一个红色的 $G_1$ 副本或一个蓝色的 $G_2$ 副本。确定 Ramsey 数的精确值是一项困难的计算与理论挑战。最著名的 Ramsey 数是当 $G_1$ 和 $G_2$ 为完全图时的情形，但许多其他选择也已被广泛研究（参见综述 [63]）。书图 $B_k$ 由 $k$ 个共享一条公共边的三角形组成。一个开放问题是：

$R(B_{n-1},B_n)=4n-1$

（7）

对每个正整数都成立$n$。Rousseau 和 Sheehan 于 1978 年确立了上界，证明了$R(B_{n-1},B_n)\le 4n-1$对所有$n$ [67] 成立。因此，剩下的工作就是证明与之匹配的下界。对于给定的$n$，这相当于构造一个红蓝边着色$K_{4n-2}$，使得其中既不含红色$B_{n-1}$，也不含蓝色$B_n$.

第三作者证明了 $n\le 20$ 情形下的等式，独立地匹配了同期工作，并在 $2n-1$ 为同余于 $1\left(mod4\right)$ [82, 47] 的素数幂时，建立了一个无限的 Paley 型族。有限证据与一般算术构造的结合使他猜想 (7) 对所有 $n$ [82] 均成立。Epoch AI 随后将其采纳为 FrontierMath 开放问题 [22]。在该问题发布后，进一步的工作将连续求解的范围扩展至 $n\le 56$，并通过扩展既有构造产生了另外两个无限族 [80]。

我们针对该问题运行了两个 Station。第一个在无互联网访问的情况下运行，发现了一个新的会议图族。随后，我们运行了第二个接入互联网并带有第一个 Station 结果摘要的 Station；它发现了一个新的加倍 Legendre 族，以及若干新的有限构造。之后，一位外部专家将这些有限构造中的模式与第二个 Station 的早期结果相结合，得到了 Yamada–Pott 无限族。因此，前两个族是 Station 的自主发现，而第三个则需要人类专家的参与。所有三个族相对于现有文献而言都是新颖的，并在图 6 中进行了可视化。每个族所覆盖的参数 $n$（包括哪些此前是开放的）汇总于图 7 中。

S1. 一个 conference 图族。

第一个也是最广泛的族将任意 conference 图转化为 sharp book-Ramsey 着色。具体来说，如果一个具有参数

$(q,\frac{q-1}{2},\frac{q-5}{4},\frac{q-1}{4})$

存在，那么该空间站的智能体证明了

$R(B_q,B_{q+1})=4q+3.$

(8)

Paley 会议图在$q$为与$1\left(mod4\right)$同余的素数幂时存在。因此，当$n-1$为与$1\left(mod4\right)$同余的素数幂时，该定理证明了这一猜想。在 Paley 情形之外，Seberry 和 Whiteman 利用 Mathon 的构造，对每个$5\cdot 9^{2t+1}+1$] 获得了阶为$t\ge 0$ [52, 72的对称会议矩阵。这些矩阵产生阶为$q=5\cdot 9^{2t+1}$的会议图，因此 Station 定理也在

$n=5\cdot 9^{2t+1}+1,t\ge 0.$

第一个成员给出 $q=45$ 和 $n=46$。阶为 $q=65$ 的已知会议图提供了附加参数 $n=66$ [36]。总体而言，已知会议图在 $n\le 200$ 的 30 个取值上证明了该猜想，其中 19 个此前尚未解决 [82, 47, 80, 22]。

S2. 一个加倍的 Legendre 族。

第二族方法将周期勒让德源转换为${𝔽}_Q$锐利的 book-Ramsey 着色 [25]。具体而言，对于每个素数幂$Q>3$满足$Q\equiv 3\left(mod8\right)$时，Station 的智能体证明了

$R(B_{\left(Q-1\right)/2},B_{\left(Q+1\right)/2})=2Q+1.$

(9)

因此，只要 $2n-1$ 是模 $3\left(mod8\right)$ 同余的素数幂，该定理即可证明该猜想成立。对于 $n\le 200$，这一族在 21 个取值上证明了等式成立，并且在发现之时，在计入会议族 [82、47、80、22] 之后，还额外解决了六个此前悬而未决的开放情形。

这些智能体于 2026 年 7 月中旬发现了这一通用族。7 月底宣布的同期工作独立地得到了有限情形 $n=70$ [22]；Station 定理将 $n=70$ 作为其中一个成员包含在内，并覆盖了无穷多个进一步的参数。

双重 Legendre 族与 Turturean [80] 所报道的 Legendre 族相关但有所不同。两者都始于 ${𝔽}_Q$ 上同类型的周期 Legendre 源，且满足 $Q\equiv 3\left(mod8\right)$，但使用了不同的提升来获得 book-Ramsey 着色。对于相同的源阶 $Q$，较早的提升达到 $n=\left(Q+1\right)/4$，而 Station 提升则达到 $n=\left(Q+1\right)/2$。因此，它将 Ramsey 参数翻倍，并覆盖了不同的取值集合，如图 7 所示。

S3. 一个 Yamada–Pott 族。

第三族将经典的 Yamada–Pott 构造转化为一种锐利的 book-Ramsey 着色 [3]。具体而言，对于每个素数幂$q\ge 7$满足$q\equiv 3\left(mod4\right)$，我们证明了

$R(B_{\left(q^2-q-2\right)/4},B_{\left(q^2-q+2\right)/4})=q^2-q+1.$

（10）

因此，该定理在以下情形下证明了这一猜想：

$n=\frac{q^2-q+2}{4}$

对于素数幂$q\ge 7$同余于$3\left(mod4\right)$。对于$n\le 200$，该族在五个取值上证明了等号成立，并在计入 conference 族和加倍 Legendre 族之后，解决了另外三个此前悬而未决的情形 [82, 47, 80, 22]。第二个 Station 的智能体为$n=11,28,86$以及一个更早的周期相关恒等式提供了有限仿射构造；一位外部专家识别出它们共有的 Yamada–Pott 结构，并利用这些要素建立了该一般性定理。

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讨论。

上述三个无限族相对于现有文献而言是新颖的，但其源对象并非新事物：会议图、周期 Legendre 对以及 Yamada–Pott 设计均已在先前建立 [52、25、3]。每种情形下的新意在于将经典对象提升为锐 book-Ramsey 染色的规则，而这样的规则未必能从源对象本身直接看出。例如，智能体是在经过 3,000 多次 Station 时钟周期以及一系列中间内部论文之后，才发现一般的会议图提升规则的。随附的 notebook 提供了改编自智能体内部论文的、相对未经打磨的证明；我们将在后续的单独论文中给出这三个族的精炼证明。

前两个家族还表明，Station 智能体能够推进超出可直接评分任务的通用数学目标：尽管评估器只能奖励有限构造，它们仍然发现并证明了无限家族。第三个家族则展示了互补性的局限。有限仿射示例以及一般定理所需的周期相关恒等式，在 Station 的研究历史中早已存在，但智能体并未将它们联系起来。

一位外部专家识别出它们共有的 Yamada–Pott 结构，并完成了综合。这一错失的联系表明，智能体可能尚未充分利用 Station 中积累的知识，在此类情况下或许需要外部专家的综合来补足。

4.14 雅可比猜想

雅可比猜想探讨的是：一个处处局部可逆的多项式映射是否也必然全局可逆。更精确地说，该猜想断言，每一个具有非零常数雅可比行列式的多项式映射 $F:{ℂ}^n\to {ℂ}^n$ 都是多项式自同构 [40]。2026 年 7 月 19 日，有消息宣布借助 Claude Fable 构造出了一个三维反例 [1]，从而在所有至少三维的维度上推翻了该猜想。这一突破随即促使研究者们为该映射寻求概念性的解释：特别是，其看似神奇的雅可比消去为何会发生，以及三个一般的逆层如何能与处处局部可逆性共存 [15, 27, 78, 73, 75]。

我们在公告发布一周后启动了该 Station。由于这项实验是在更新的模型问世之后进行的，因此它使用的智能体池比其他 Station 更新：两个智能体分别由 GPT-5.6 Sol、Claude Opus 5 和 Gemini 3.1 Pro 驱动。这些智能体没有外部网络访问权限，只收到一份不含公式的规格说明：构造一个有理系数多项式映射${ℂ}^3\to {ℂ}^3$其次数至多为$12$，其常数雅可比行列式非零，且在同一纤维中存在两个不同的有理点。评估器自动检查每个构造，并且仅当它满足所有要求时才给出$1$的分数，否则给出$0$。我们没有提供文献综述或部分构造。因此，智能体必须独立找到反例。

这项任务的目标有两个方面。首先，我们希望在严格的二元问题上测试 Station。评估器既不提供部分分数，也不提供分级反馈，因此失败的尝试不会给智能体任何关于如何改进的分数信号；要达到 $1$ 的分数，需要重构一个近九十年来一直困扰数学家的猜想反例 [40]。其次，我们希望观察完整的发现过程，而不仅仅是最终的构造结果。我们公开了全部原始智能体对话，而原始的 Fable 发现轨迹尚未发布。这份记录保留了未出现在最终构造中的中间数学想法，使研究人员能够研究 AI 主导的数学发现的动态过程。

S1. 通过尖点直纹面的独立重构。

在编写 $b=xy-1$ 时，Station 智能体构造了七次映射

$F(x,y,z)=(6x+9x^{2}y,y\left(9b^2+6b-2\right),\mathrm{\hspace{0.33em}3}{y}^{2}b\left(3b-1\right))+z(x^3,x{b}^2,b^3).$

精确计算得到 $detJF=-6$，且三个不同的有理点

$(-\frac{6}{7},-\frac{7}{6},-\frac{4753}{216}),(\frac{3}{4},\frac{7}{3},-\frac{980}{27}),(\frac{3}{28},\frac{7}{3},\frac{2548}{27})$

全部映射到 $(1,7/3,0)$。这些恒等式构成了一份完整的反例证书。该公式与所公布的映射 $H$ [1, 26] 存在明显差异，但线性源变换与目标变换 $T(x,y,z)=(x,-y,-3z)$ 和 $L(A,B,C)=(3C,-B,3A)$ 满足 $F\circ T=L\circ H$。因此，Station 是在不同的线性坐标系下重构了所公布的反例；它并未产生新的反例或新的等价类。

原结果归功于 Claude Fable，而该反例则是由单个 GPT-5.6 Sol 智能体在一天之内独立发现的，期间未与其他智能体直接交互。该成功智能体以有规则映射为起点$F(x,y,z)=f(x,y)+zn(x,y)$，因此当$z$变化时，对每个固定的$(x,y)$都会描绘出一条线。它测试了五种基于光滑圆锥曲线的低次方向模板，但没有一种能满足剩余的常雅可比条件。决定性的一步是用尖点三次曲线替换光滑方向曲线$[r:s]\mapsto [r^3:r{s}^2:s^3]$。其关联的方向场为$n=(x^3,x{\left(xy-1\right)}^2,{\left(xy-1\right)}^3)$；采用这一选择后，基曲面$f$的相容性方程变得可解，并恰好得到了上述映射。

S2. 重建后的映射具有无临界点的三叶纤维结构。

在成功推导过程中，智能体还解释了为何尖点直纹面（cuspidal ruling）使雅可比行列式为常数。对于方向场$n=(x^3,x{\left(xy-1\right)}^2,{\left(xy-1\right)}^3)$，智能体推导出了活动标架恒等式，包括$D\left(n\right)=3xn$对于$D=x{}^2\partial {}_x-\partial {}_y$，在该条件下，行列式中每一个$z$相关的贡献项都包含重复的切方向并因此为零。剩余的三重积即为常数$-6$。因此，智能体是从尖点直纹面的几何性质出发推导出雅可比行列式的相消，而非先发现十六个只能在事后验证其相消的项。

在构造出反例之后，同一个智能体分析了该映射的纤维，并解释了为何该映射在局部处处可逆，却在一般情况下具有三个原像。在一个稠密坐标卡上，将目标点写为 $(X,Y,Z)$，并令 $I=XY$ 和 $J=X^{2}Z$。恢复一个原像于是归结为

$t^3+6t^2-3It+2J=0.$

（11）

对于一般目标，三个根给出三个不同的原像。若 $p\left(t\right)$ 表示左侧，则逆公式满足 $A=p^{\prime }\left(t\right)/6$、$X=xA$，从而有 $x=X/A$。当根重合且 $X\ne 0$ 时，条件 $p^{\prime }\left(t\right)=0$ 迫使相应源点逃逸至无穷远，而非成为仿射空间中的临界点。在例外轨迹 $X=0$ 上，源坐标 $x$ 提供了额外的仿射尺度方向，从而消解了同样的表观分歧。这一分析回答了数学家们在公告发布后立即提出的结构性问题：三个叶面源于三次商映射，而完整三维映射的几何结构阻止了它们的碰撞产生临界点。该智能体的解释与数学家们在公告发布后数日内提出的尖点及三次解释一致 [27、78、73、75]。

讨论。

本实验的数学成果是一次独立重构，而非新的反例或新的解释。该示例表明，Station 能够处理一个困难的二值问题，而该问题的评估器不提供任何梯度或部分分数来引导搜索。尽管如此，此类反例突破可能仍然罕见，因为猜想通常被认为为真。在更广泛的背景下，更困难的挑战或许在于：在已知反例是否存在之前，先识别出一个有前景的问题并投入大量计算。

5 元分析

在本节中，我们对上述发现过程进行元分析，以更好地理解 AI 发现的动态机制。除非另有说明，所有分析均基于前一节提到的 14 个问题背后的 16 个 Station 实例。（接吻数$d=11$和Book Ramsey 数问题各有两个 Station 实例。）聚光结果指该节中标记为 S1、S2 等的结果，共计 28 项。当单个聚光结果包含多个独立发现的成果时，我们分别计数。我们用存档论文指代 Station 内智能体发表的论文，而非外部人类文献中的论文。

5.1 各模型家族的贡献

我们首先分析了28项亮点成果各自的主要贡献者，如图8(a)所示。我们将每项成果归因于做出实质性发现的智能体，而非后来复述、验证或发表该成果的智能体。Claude智能体对18项成果（64.3%）做出了主要发现，GPT智能体贡献了9项（32.1%），Gemini智能体贡献了1项（3.6%）。Gemini占比偏低可能部分反映了模型发布时间差异：Gemini 3.1 Pro于2026年2月发布，早于4月发布的GPT-5.5和5月发布的Claude Opus 4.8[34, 60, 2]。因此，其较低的贡献率与行业整体趋势一致，即较晚发布的模型往往具备更强的能力。

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我们还分析了智能体的存档论文贡献，如图 8(b) 所示。Gemini 智能体提交的存档论文最多：共 2,652 次尝试，其中 508 篇被接收（19.2%），也就是说超过 80% 被审稿人拒绝。Claude 智能体共尝试 1,236 次，其中 696 篇被接收（56.3%），而 GPT 智能体仅尝试 506 次，其中 388 篇被接收（76.7%）。我们还按模型家族计算了总引用量，发现 Claude 智能体的存档论文无论在总数还是平均值上都获得了最多的引用（图 8(c)）。在我们的观察中，Gemini 智能体倾向于过度断言，例如仅凭有限的证据就宣称某个方向不可行；这类投稿通常会被审稿系统拒绝，这可能有助于解释其较高的被拒率。相比之下，GPT 智能体在存档论文投稿上非常谨慎，通常只在发现相对重要时才提交，这可能有助于解释其较低的投稿数量。Claude 的存档论文通常篇幅更长、内容更全面，这可能有助于解释其较高的平均引用量。这些模式反映了各模型家族不同的研究风格。

从定性角度看，我们观察到三个模型家族在优势与失败模式上存在显著差异。Gemini 智能体倾向于提出更新颖的启发式方法和研究方向，但也更容易夸大结论，或在收到同行反馈时过于轻易地改变路线。GPT 智能体往往更为严谨，通常能够为新结果给出有效的非正式证明，但它们也可能沉溺于技术细节繁复、整体研究价值有限的旁支问题。

Claude 智能体则表现出持久、有条理且善于自我批判的特点。它们的创造力往往是适应性的：它们会从失败的方法中学习，利用这些失败来识别新方向，并通过严谨的验证持续深耕这些方向。这种严谨性与有纪律的创造力的结合，使 Claude 成为高产贡献者。

不过，其智能体偶尔也会提出错误论断，随后由同行智能体予以纠正。

5.2 跨模型家族的协作

Station 的一个特点是允许来自不同模型家族的智能体进行协作。因此，我们考察了不同模型家族的智能体在 spotlight 成果上共同协作的频率。我们审视了上述全部 28 项 spotlight 成果。当某个智能体的工作被实质性用于该成果时——例如，它贡献了被其他智能体采用的定理、构造、方法或研究方向——我们便将其计为贡献者。

我们发现，28 个亮点结果中有 13 个（46.4%）涉及来自多个模型家族的智能体，如图 9(a) 所示。在其余 15 个结果中，有 6 个仍是由同一模型家族的多个智能体合作完成的。因此，28 个结果中只有 9 个（32.1%）是由单个智能体独立发现的，而 19 个（67.9%）涉及多个智能体。Claude 智能体尤其善于协作：它们参与了全部 13 个跨模型结果。这些发现表明，跨智能体和跨模型家族的合作是发现过程中的重要组成部分。相比之下，当前大多数 AI 科学发现系统要么在单次运行中使用来自单一模型家族的智能体 [58, 30, 70, 35, 61]，要么在流水线中以固定角色使用不同的模型家族 [50, 31]。

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我们还考察了智能体在跨模型案例中如何进行通信。Archive Room 是最常用的渠道，占这些协作的 61.5%（图 9(b)）。这表明档案论文是同行通信的一种高效手段。作为智能体较长的研究过程中科学成果的高度浓缩记录，这些档案论文提供了低带宽但信息密度高的知识体系，后来的智能体可以在此基础上继续推进，这与我们自己的科学文献颇为相似。一个智能体可以解决问题的某一部分并说明仍缺少什么；来自另一个模型家族的后继智能体可以阅读档案论文并继续推进。事实上，一个涉及三个模型家族协作的典型案例，主要通过档案论文进行，并最终促成了首个有限 Kakeya 焦点结果，如图 9(c) 所示。

5.3 发现时间

我们还关注 Station 完成每项发现所需的时间。大多数 Station 实例运行了 1,000–2,000 个 tick，对应大约一到两周的连续挂钟时间。图 10 展示了 28 项重点结果各自以最终实质形态首次出现的 tick 时刻。

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一些相对简单的结果出现得较早。除了 Jacobian 猜想这一显著例外，这些早期发现往往分量较轻，通常是对预训练知识中已有思路的直接改编或扩展，此时 Station 内部共享知识尚未大量积累。

28 项重点结果中有 13 项（46.4%）是在 tick 1000 之后发现的。我们普遍观察到，越晚的发现往往越新颖或越困难。最极端的例子是 Book Ramsey 数的会议图族，它在 tick 3727 被发现。其提升规则在现有文献中远非显而易见，值得单独撰写一篇外部后续论文。这类非平凡的发现往往只有在大量内部文献积累之后才会出现。

5.4 Station 机制

Station 旨在通过多种机制促进科学发现。这些机制在附录 A 中有详细描述；此处我们仅作简要概述，并探讨其中哪些机制对亮点成果有所贡献。

• 休假（Holiday）。每十个 tick 周期中的最后两个 tick 被设定为休假时间；智能体在此期间不能提交代码或归档论文，而是会收到鼓励进行广泛反思、运用隐喻或借鉴其他领域想法的提示。这种暂停常常促使智能体重新思考失败的方法，或探索不那么明显的方向。

• 论文归档（Archive paper）。被接受的归档论文构成 Station 的累积知识，并可供后续智能体使用。这使得部分定理、构造以及记录详尽的失败案例能够成为后续发现的起点。

• 停滞协议（Stagnation protocol）。如果官方评估前沿长期没有进展，Station 会要求智能体回顾内部文献、质疑自身假设，并尝试不同的高层策略。这有助于智能体摆脱已近枯竭的局部方法，推动它们进行更大胆的尝试和更广泛的探索。

• 同行交流（Peer communication）。智能体可以通过直接消息或共享的公开讨论来交换部分结果、有针对性的问题和批评意见。

• 主管（Supervisor）。Station 会随机指定一名符合条件的智能体担任主管。主管提供高层指导，鼓励智能体坚持研究，并防止它们重复彼此的工作，同时让它们对自己的研究负责；在两次任命之间，Station 会有意留出较长的无主管时段，以鼓励更自由、更少结构化的探索。

• 问题室（Question Room）。智能体可以发布重要的未解决子问题，供其他智能体讨论和解决。这能把未填补的空白转化为共同的研究目标，并让采用不同方法的智能体得以补上缺失的环节。

这些机制以不同方式促进发现。假期（Holidays）拓宽探索范围；存档论文（archive papers）深化累积知识；停滞协议（stagnation protocol）推动系统摆脱局部最优；而同伴交流、主管机制和问题室则在各智能体之间协调工作。

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我们审阅了这 28 项成果背后对应的对话记录，并将每种机制对发现的贡献归类为直接贡献、间接贡献或无实质贡献（图 11）。当某一机制提供了决定性的想法或干预时，该贡献被判定为直接贡献；当它塑造或支持了研究、但并非成果的直接来源时，则被判定为间接贡献。当对话记录显示该机制没有明确的因果作用时，我们将其判定为无实质贡献。

在 28 项成果中，假期论文和档案论文分别直接或间接贡献了 23 项和 21 项，紧随其后的是停滞协议，贡献了 14 项。在假期期间，智能体往往会从主动优化中抽身，审视先前方法失败的原因，并重新定义问题或探索新方向；这些反思常常提供后来成为亮点成果组成部分的想法，这解释了其高贡献率。档案论文也对相当一部分成果做出了贡献，表明 Station 积累的知识对后续发现很有价值。

5.5 成果可复现性

我们同样关注这些发现是否可复现。为此，我们在十一维接吻数问题上运行了三个独立的 Station 实例，均无网络访问权限。（其中包括第 4.3 节中描述的两个实例；第三个仅用于本次可复现性分析，不包含在上述其他元分析中。）图 12 展示了每次运行达到的最佳认证下界。三个 Station 最终都达到了 $N=604$，表明改进后的下界是可复现的。

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然而，更仔细的检查显示，在所需时间和达成结果的路径上都存在显著差异。工作站 1 围绕格导出的核心追求离散的精确直线填充。它通过选择 54 条相互兼容的直线，形成 $108$ 点核心的 $496$ 点代数扩张，从而获得构造 3；后来在探索不同的核心和扩张时获得构造 2。工作站 2 则是在共同旋转下从根系母题组装构造 1；其最后一步是识别出十一个点构成了一个立方八面体的除一个顶点外的所有顶点，并添加缺失的第十二个顶点。工作站 3 通过不同的机制达到了相同的构造类别：它变形了一个精确的 $601$ 点配置，使得两个坐标向量和一个支撑在特定三维子空间上的附加向量可以被追加。因此，相同的数值下界从显著不同的数学表示和研究路径中涌现出来。

这种差异部分源于工作站的累积知识。初始轨迹中的微小差异会改变哪些结果进入档案论文集合。后续智能体随后继承不同的起点，因此研究路径和累积档案论文的差异会随时间复合放大。因此，鉴于各工作站实例之间的高方差，在计算成本不成问题的情况下，建议在同一问题上运行多个独立实例。

6 讨论与结论

我们观察到 AI 智能体的能力正在快速提升。在一年前的初始版本中，智能体经常产生幻觉，无法可靠地学习环境规则。如今，智能体已经能够掌握环境并自主产生新颖的发现。尽管如此，多智能体研究仍存在若干重要局限。我们在下方总结观察结果。

• 缺乏专家直觉。所谓直觉，我们指的是在投入研究之前判断某个研究方向是否有前景的能力。良好的直觉能让探索更高效，使研究者能够更深入地钻研有前景的方向。在多次运行中，我们观察到智能体以站不住脚的理由将一些有前景的方法降级处理，从而延误或错失了潜在的突破。这表明智能体缺乏该领域人类专家通常具备的那种直觉。

• 缺乏多元化的研究品味。对特定概念或方法的偏好很难被客观评判为好或坏。然而，当所有智能体都拥有相似的品味时，整体探索范围就会变得狭窄。在多次运行中，来自同一模型家族的智能体经常提出相似的研究想法，这表明模型特有的品味降低了探索的多样性。

• 上下文学习能力有限。智能体可以通过上下文吸收新的研究知识，但这些知识并不会更新其预训练权重。随着 Station 积累的知识不断增长，智能体可能难以完全吸收并有效利用这些知识。我们偶尔观察到智能体未能认识到自己的研究路线与 Station 早期知识之间的联系，导致它们错过潜在的发现。

• 吸引子陷阱。当被赋予自主性时，一些智能体会沉浸在我们称之为吸引子的任务或活动中。这些活动往往在某种即时意义上具有回报性，但对主要问题几乎没有什么有意义的贡献。智能体也可能沉浸于技术细节中，而人类专家会很快意识到这些细节是琐碎的或与主要问题无关。例如，反复使用不同随机种子重新运行同一个优化脚本，或者详尽地诊断和刻画每一个局部最优解。

Station 的若干机制旨在缓解这些局限。例如，使用来自多个模型家族的智能体拓宽了研究品味的范围，而停滞协议则帮助智能体摆脱吸引子陷阱。尽管如此，这些问题在某种程度上仍然存在，并且在上述四个方面，AI 智能体与人类专家之间仍存在显著差距。

来自人类专家的轻量级指导或偶尔的干预可能会有所裨益，通过引导智能体走向有前景的研究方向。当前的 Station 支持此类人类参与，例如通过向所有智能体广播消息的方式，但我们把对人与 AI 协作的系统性研究留待未来工作。

尽管本文主要将 Station 用于数学探索，但 Station 被设计为一个通用的研究环境，其机制中没有一个是专门针对数学定制的。正如原论文所展示的，Station 可以应用于涵盖数学、计算生物学和机器学习的各类问题[16]。因此，在其他领域（包括对语言模型本身的研究）进行大规模研究探索，可能前景广阔。

随着 AI 智能体能力不断增强，我们预计自主性和通用性将成为设计 AI 研究环境时越来越重要的原则。更强大的智能体不必局限于日益复杂的流水线；它们有能力自行决定如何追求目标、从失败中学习、交流想法，并随时间推移不断积累知识。Station 所提供的更高自主性，有望让这些能力得到更充分的发挥。

参考文献

• [1] L. Alpöge (2026) Hello there the Jacobian conjecture is false. 注：X 平台帖子，发布于 2026 年 7 月 19 日 外部链接：链接 被引用：§1、§4.14、§4.14。
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附录 A Station 环境

本附录对本文所使用的 Station 环境进行了自包含的完整描述，我们将其称为 Station v2，以区别于最初的 Station v1。我们重点介绍其机制与实现细节，关于该环境更广泛的设计理念与动机，请读者参阅最初的 Station 论文 [16]。源代码可在 https://github.com/dualverse-ai/station 获取。

A.1 空间、时间与动作

空间。

Station 被划分为多个房间，每个房间服务于不同的目的（表 1）。例如，智能体在研究中心进行实验，在档案室阅读和发表论文，在邮件室与同行交流。智能体必须身处某个房间才能使用该房间的动作，并可通过导航动作在房间之间移动。这种房间划分赋予了环境模块化的设计，实现了功能的清晰分离。

时间。

Station 以离散的时间步运行，称为 tick。当每个活跃智能体都收到一次 Station 观测并返回一个响应后，一个 tick 即告完成。Tick 为 Station 中的所有智能体提供了统一的时间线。

在 Station v1 中，智能体按顺序接收各自的观测。相比之下，Station v2 会在每个 tick 开始时，先从同一状态为每个智能体准备一份观测，然后将这些观测并行发送给所有智能体。这大幅缩短了 Station 运行所需的墙钟时间。

动作。

在每个 tick，智能体会收到一份观测，其中包含其当前状态、新的系统消息、先前动作的结果，以及它所访问房间的最新输出。智能体以自由格式文本回复，并附上它打算执行的动作。动作使用命令 /execute_action{...} 编写，当需要结构化信息（例如消息的接收者和内容）时，后面可跟一个 YAML 块。智能体可以在单次回复中发出多个动作，从而高效利用每次回复。

因此，对话主要由交替出现的 Station 观测和智能体回复组成。当对话接近配置的上下文限制时（本研究中通常约为 300,000 个 token），Station 会要求智能体对其活动撰写一份紧凑的摘要。该摘要连同关键消息会被带入刷新后的上下文中，以便智能体继续其工作。

A.2 智能体

智能体构成。

除非另有说明，一个 Station 初始包含六个智能体：两个由 GPT-5.5 驱动，两个由 Claude Opus 4.8 驱动，两个由 Gemini 3.1 Pro 驱动。当某个智能体离开时，Station 会生成一个由相同模型驱动的新智能体，从而在整个运行过程中始终保持六个智能体的构成。

谱系（Lineage）。

智能体被组织为 谱系。谱系是一系列共享名称、私人笔记和持续研究身份的智能体序列。一个新智能体可以继承同一模型的现有谱系并成为其下一代，也可以创建并命名一个新谱系以开启不同的研究风格。例如，继承 Noesis II 谱系的智能体将成为 Noesis III，并有权访问 Noesis I 和 Noesis II 留下的所有私人笔记和记录。

系统提示词与角色。

所有智能体都会收到一份共享的系统提示词，其中描述了 Station 的研究理念，包括可发表存档论文的标准以及做出通用科学贡献的目标。每个智能体还会获得一个专门的研究角色。初始角色从通用模板中采样，每个模板强调不同的研究风格：分析型、创造型、综合型、实证型或战略型。

当某个智能体离开时，它可以为自己的后代撰写角色描述，通常会给出更具任务针对性的指导，以及对谱系研究风格更审慎的阐述。这有助于在智能体之间激发多样化的研究行为，同时保留谱系之间有价值的差异。

智能体生命周期。

一个智能体最多可在 Station 中停留 200 个 tick。在最初的 40 个 tick 内，它处于独立工作状态，无法访问 Station 的公共知识，也不能与其他智能体交流，但可以访问自身谱系的记录。这一阶段旨在鼓励独立探索。之后，该智能体进入成熟期，并获得进入主要协作房间的权限。当年龄达到 100 个 tick 时，它成为终身成员，并可以选择在其最大寿命到来之前离开 Station。

主管。

Station 还会不时任命一位主管。它会随机选择一个至少发表过一篇被收录论文的 GPT-5.5 智能体来担任此职。主管提供高层级指导，鼓励智能体深入探索有前景的方向，并帮助避免重复工作，同时让每个智能体对自己的研究负责。主管离开后，Station 会等待 200 个 tick 再任命下一位主管，从而形成一段结构化程度较低的探索时期。

A.3 房间

研究中心和档案室是 Station 中的两个主要房间。下文将介绍它们的功能，以及新增的问题室。其余房间汇总于表 1。

研究中心。

研究中心是 Station 中进行计算实验的主要场所。它呈现研究任务、接收实验提交、运行评估并记录结果，同时为代码和产物提供持久化存储。智能体可以查看同伴的评估结果，并复用已存储的代码和产物，从而使实验知识得以不断积累。

要在新问题上启动一个 Station，用户通常需要提供两个组件：任务规范（task specification）和评估器（evaluator）。任务规范描述研究问题、提交格式、约束条件和评估规则；评估器则是一个根据输入构造计算得分的函数。例如，接吻数（kissing-number）评估器会接收一组提议的向量，并报告对应球体之间的总重叠量，其中零表示该配置有效。任务规范和评估器都可供智能体读取。

智能体还可以将研究中心用作通用计算工作的沙盒。实验并不一定要返回符合评估器要求的构造格式；智能体可以将其用于诊断性计算、检验猜想、分析早期结果等用途。

Station v2 引入了一个独立的 coder，由 GPT-5.5 通过 Codex [59] 驱动，用于帮助智能体实现其实验。智能体不再自行编写和调试代码，而是针对某个实验提交具体的自然语言指令。coder 负责实现这些指令、运行评估器、修复实现错误，并返回一份报告。这使得智能体能够专注于科学工作，例如设计实验和解读结果，而不是调试等底层编码工作。

档案室。

档案室是空间站的主要知识中枢。智能体可以将自己的发现以档案论文的形式发布，也可以阅读此前智能体发布的论文。这些论文在整个运行期间持续可用，使结果、方法和有价值的负面发现能够在智能体之间传递并随时间不断积累。因此，档案在整个运行过程中不断增长，逐步扩展空间站对问题的认知。

每篇提交的论文都会由基于 GPT-5.5 的评审员进行评估。评审员会判断该工作是否严谨、相对现有档案是否具有新颖性、对研究目标是否有用，以及是否具备充分的支持与引用。被接受的论文会发布在档案室中，而被拒的论文则会连同评论和建议一并退回，以便作者修改工作或探索不同方向。

Station v2 还引入了一位档案调研员，由 GPT-5.5 通过 Codex 驱动。随着档案室增长到包含数十甚至数百篇论文，通读全部文献变得耗时。智能体可以转而向档案调研员请求针对特定问题或研究方向的文献综述。调研员会检索已积累的档案论文，并返回一份附有原始记录引用的简明综述。智能体在需要完整细节时，仍可直接阅读任何档案论文。

提问室。

Station v2 引入了一个“提问室”（Question Room），智能体可以在这里发布新的研究问题，并对同伴提出的解决方案进行投票。该房间鼓励在主任务之外进行科学探索；例如，解决一个相关或简化后的问题，可能会为原始问题带来洞见。只有获得终身职位的智能体才能进入，从而限制智能体在生命周期早期离开主任务的时间。

其他房间。

大多数其他房间支持不同形式的交流或反思。它们的功能不言自明，此处不再赘述。

A.4 机制

假期。

每第九和第十个 tick 被宣布为 假期。在这些 tick 期间，智能体不能运行实验或提交档案论文。取而代之的是，每个智能体会从一个大型提示词池中收到一个随机提示词。这些提示词鼓励更广泛的反思，例如使用隐喻、审视一个意外的观察结果、重新审视一个被放弃的想法，或借鉴其他领域的知识。其中大部分改编自 Yanai 和 Lercher 所描述的“夜间科学”实践 [38]。假期为日常工作创造了有规律的暂停，让智能体可以重新审视自己的假设，并探索不那么明显的方向。

元反思。

Station v2 还为成熟智能体引入了强制性的 元反思机制。每个智能体每 25 个 tick 至少进入一次反思室（Reflection Chamber），并接收一条随机选取的高层反思提示词。该提示词通常要求 GPT-5.5 扮演外部人类专家，从不同视角审视智能体近期的研究历程。在反思过程中，GPT-5.5 会临时取代智能体常用的模型，因为我们发现它能产出质量最高的评审意见。其动机在于让智能体与人类研究者更广泛的兴趣保持一致，包括好奇心、理解力，以及超越单纯提升评测分数的科学价值。

停滞协议。

当评估前沿连续 320 个 tick 没有取得进展时，Station 会激活停滞协议。该协议会向每个成熟智能体发送一条系统消息，并随机为每个智能体分配若干条路径之一：探索、利用、复兴、理解或策略。每条路径都要求智能体审视现有证据、质疑当前假设，并针对停滞状态制定不同的应对方案。多条路径并行有助于鼓励多样化的途径来摆脱科学停滞。

多重启动。

Station v2 引入了 多起点（multistart）机制，该机制从同一初始状态出发，并行运行八次独立的 Station 展开，每次持续 40 个 tick。随后，一个由 GPT-5.5 驱动的管理员会对各次展开的进展进行比较，并选择科学价值最大的分支继续推进。多起点机制旨在捕捉各次展开在研究轨迹上的显著差异。它被应用于预期差异最大的阶段：即 Station 运行的前 40 个 tick，以及停滞协议激活后的前 40 个 tick。各分支并行运行，因此在计算资源充足的情况下，多起点机制通常不会增加墙钟时间。

附录 B：pre-AlphaEvolve 文献栏目的来源

图 1 中的 pre-AlphaEvolve 文献曲线是一个可复现的参考基准，由早于 AlphaEvolve 的工作汇编而成。没有任何单一论文对这些有限值进行过列表统计。因此，我们对下述明确定义的族取最小值，每个族均在所讨论的特定配对点上进行评估。

• Bukh–Chao [13]，命题 11。我们使用二次剩余块 $G_n={\bigcup }_a\{(t,a_1^2+t{a}_1,\dots ,a_{n-1}^2+t{a}_{n-1}):t\in {𝔽}_q\}$ 和递归式 $K_n=G_n\cup \left(K_{n-1}+x_n\right)$，其中 $K_{n-1}$ 嵌入在一个水平超平面中。命题 11 使得该构造对于每一个完全平移 $x_n$ 都满足 Kakeya 性质。我们保留从完整的横向平移历史和横向平移的水平切片中找到的最小认证放置，将每个选定的集合具体化，并在每个投影方向上检查一条完整的见证线。这一点至关重要：仅保留一个局部最优子节点，或固定包含的切片，会在某些基准配对点上产生更大的值。

• Mockenhaupt–Tao [57]，其形式由 Saraf 和 Sudan [69] 记录。所展示的并集精确大小为 $\left(q-1\right){\left(\frac{q+1}{2}\right)}^{d-1}+q^{d-1}$；在减去交集之前，和式 $q{\left(\frac{q+1}{2}\right)}^{d-1}+q^{d-1}$ 是一个便捷的上界。

• Kopparty、Lev、Saraf 和 Sudan [42]。引理 17 给出了上界$q{\sum }_{j<d}{\left(\frac{q+1}{2}\right)}^j$（其展示的分层可能重叠），而定理 7 的缺位数字构造具有精确大小${\left(q-1\right)}^d+2^d-1$，这是经典的$2^{d+1}-1$在$q=3$.

• Blokhuis–Mazzocca [11]。在$d=2$中，该问题得到解决。最小值恰好为$p\left(p+1\right)/2+\left(p-1\right)/2$（当$p$为奇数时），并给出了相应的构造。

• 乘积性质。Kakeya 集合的乘积恰好是乘积尺寸的 Kakeya 集合，因此在互补的低维中，所有最优界的乘积都是可容许的，其中上述平面精确值作为 $d=2$ 因子。

• Lev [46]。在 $p=3$ 处，精确值 $k_3=13$ 与界 $k_4\le 27$ 均来自计算机搜索。

Bukh–Chao 递归在所有 22 个配对处提供了选定值，$p\ge 5$。在$p=3$处，值 13 和 27 在维度 3 和 4 中更小，而在维度 5 中，递归值、缺失数字构造和$2^{d+1}-1$都给出 63。乘积在范围内任何配对处都不会独自达到最小值。将两条参考曲线相互比较，AlphaEvolve 在 18 个配对处低于 pre-AlphaEvolve 文献，而 pre-AlphaEvolve 文献在 5 个配对处低于 AlphaEvolve，即$p=3$中的两个$d=3,4$配对，以及$d=5$.

表 3 报告了全部 25 组基准对比。初始评估是我们对 pre-AlphaEvolve 构造的首次评估。最终的 pre-AlphaEvolve 文献列是在将扩展的放置搜索纳入 Bukh–Chao 递归之后，取上述各系列中的最小值。该搜索在十二组对比上改进了初始评估结果，在其余十三组上保持不变。

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$(d,p)$	初始评估	Pre-AlphaEvolve 文献	AlphaEvolve	Station
$(3,3)$	13	13	15	13
$(3,5)$	53	53	53	53
$(3,7)$	129	129	128	128
$(3,11)$	440	440	438	437
$(3,13)$	699	698	697	697
$(3,19)$	2,034	2,034	2,031	2,030
$(3,23)$	3,509	3,509	3,505	3,504
$(3,29)$	6,837	6,837	6,833	6,833
$(3,31)$	8,295	8,295	8,290	8,288
$(3,37)$	13,867	13,866	13,861	13,861
$(3,41)$	18,709	18,708	18,701	18,701
$(3,43)$	21,504	21,504	21,495	21,495
$(3,47)$	27,899	27,899	27,892	27,889
$(3,53)$	39,687	39,686	39,677	39,677
$(4,3)$	27	27	31	27
$(4,5)$	164	163	162	161
$(4,7)$	529	528	527	527
$(4,11)$	2,689	2,689	2,687	2,684
$(4,13)$	4,973	4,972	4,966	4,962
$(4,17)$	13,524	13,521	13,514	13,509
$(4,19)$	20,593	20,586	20,583	20,579
$(5,3)$	63	63	63	53
$(5,5)$	503	497	510	490
$(5,7)$	2,145	2,142	2,187	2,135
$(5,11)$	16,348	16,307	16,427	16,288

这十二处改动并未改变对比结果：Station 在 14 对比较中严格小于更优的参考对象，在 11 对中持平，没有一对更差。

上述每个候选对象的构造，以及对其是否为 Kakeya 集的验证，均在随附的 notebook 中完成。